Как реализовать экспоненциальную матрицу в квантовой схеме?

9

Может быть, это наивный вопрос, но я не могу понять, как на самом деле возвести в степень матрицу в квантовой цепи. Предполагая иметь общую квадратную матрицу A , если я хочу получить ее экспоненциальную,eAя могу использовать серию

eAI+A+A22!+A33!+...

Иметь свое приближение. Я не понимаю, как сделать то же самое, используя квантовые вентили, а затем применить его, например, для выполнения гамильтоновой симуляции. Немного помощи?

FSIC
источник
4
Не ясно, говорите ли вы о квантовой цепи, которая принимает A в качестве входа и выхода eA или гамильтоново моделирование (т.е. построение схемы, унитарная матрица которой совпадает eiA).
Нелиме
Виноват; то, что я имел в виду, взяв матрицу А, я хочу, чтобы в моей схеме была ее экспонента,eiA,
FSic

Ответы:

7

Переформулируй свой вопрос:

Как выполнить гамильтоново моделирование для общей квадратной матрицы A?

Быстрый ответ : это невозможно.

Цель гамильтонова симуляции (ГС) - найти квантовый контур (т.е. последовательность элементов), который действует как U(t)=eiAtна квантовом состоянии. ВотU(t) должен быть унитарным (из-за свойств квантовых вентилей) и так eiAt также должен быть унитарным.

Таким образом, алгоритм HS применим только к матрицам A такой, что eiAtунитарный. Каждая эрмитова матрица удовлетворяет этому свойству, но не каждая generic square matrix. В зависимости от вашей проблемы это ограничение может быть или не быть проблемой, но вы не можете использовать HS, еслиeiAt не унитарный.

Например, для алгоритма HHL (который использует HS изA как подпрограмма) с системой Ax=b, если eiAt не унитарно, вы можете вместо этого рассмотреть проблему

Cy=(0AA0)(0x)=(b0),
решить ее с помощью HHL (что теперь возможно, потому что новая матрица C эрмитово) и выздоравливай x,

Итак, интересный вопрос сейчас:

Как выполнить гамильтоново моделирование для данной эрмитовой матрицы A?

И ответ будет зависеть от свойств A,

Это огромная тема для исследования, и о ней есть, что сказать. Я не буду представлять здесь все методы, поскольку они довольно сложны, и я не все понял. Вот список документов / презентаций, которые связаны с ГС и которые могут быть интересны для начала с ГС:

  1. Моделирование гамильтоновой динамики на небольшом квантовом компьютере : слайды о ГС. Даже если это презентация, это самый полный источник, который я нашел о гамильтоновом моделировании. Он быстро представляет 3 различных метода и цитирует интересные статьи для каждого метода.
  2. Конспект лекций по квантовым алгоритмам (Эндрю М. Чайлдс, 2017) : недавний и довольно полный. ГС обсуждается в главе 25 (стр. 123).
  3. Экспоненциальное улучшение точности для моделирования разреженных гамильтонианов : подробно представлен один из 3 методов, представленных в 1.
  4. Эффективные квантовые алгоритмы для моделирования разреженных гамильтонианов : подробно представлен еще один из 3 методов, представленных в 1.
Nelimee
источник
Спасибо, особенно за ссылки, я их посмотрю!
FSic
Я рекомендую начать с первой ссылки. Это наиболее полный и дает ссылку на другие статьи. Для меня (личная точка зрения) первая техника, использующая формулу Троттера-Судзуки, является наиболее понятной. Но это может быть не так для вас!
Нелиме
2
Каждая эрмитова матрица удовлетворяет этому свойству : более конкретно, все и только эрмитовы матрицы имеют это свойство
GLS