Имеет ли локальная эквивалентность Клиффорда прямое графическое представление состояний графов кудитов непростой размерности?

Этот вопрос является продолжением предыдущего вопроса QCSE: « Хорошо ли определены состояния графов кдитов для не простых измерений? ». Из ответа на вопрос видно, что нет ничего плохого в определении состояний графа с помощью$d$однако, кажется, что другие дефиниционные аспекты графовых состояний не распространяются аналогичным образом на непростое измерение.

В частности, для состояний графов кубитов одним из ключевых аспектов их распространенности и использования является тот факт, что: любые два состояния графа локально эквивалентны Клиффорду тогда и только тогда, когда существует некоторая последовательность локальных дополнений, которая переводит один граф в другой (для простоты, неориентированные графы). Излишне говорить, что это невероятно полезный инструмент для анализа квантовой коррекции ошибок, запутывания и сетевых архитектур.

При рассмотрении $n$-квититирует состояние графа, эквивалентный граф теперь взвешивается с помощью матрицы смежности , где - вес ребра (с указывает на отсутствие ребра). В случае qudit было показано, что эквивалентность LC также может быть расширена путем обобщения локального дополнения ( ) и включения операции умножения ребер ( ), где: где$A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$$A_{ij}$$(i,j)$$A_{ij}=0$$\ast_a v$$\circ_b v$

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ $a, b = 1, \ldots, d-1$и вся арифметика выполняется по модулю .$p$

Графически это представлено следующими операциями (воспроизведено из ссылки 2 ):

Однако, если состояние графа определено в квиттах не простого измерения, то мы можем видеть, что эти операции (кажется) не в состоянии представить LC-эквивалентность.

Например, возьмем состояние qudit изображающее граф на рис. 1, определенный для измерения qudit , и пусть , так что . В этом случае выполняется затем , и, следовательно, qudit освобождается от всех других qudits с использованием только локальных операций. Очевидно, что это неправильно и происходит из-за проблемы делителей нуля, как упоминалось в ответе на предыдущие вопросы .$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$

Мой вопрос: существует ли какой-либо набор графовых операций, которые должным образом представляют локальную эквивалентность Клиффорда для состояний графов кдитов не простой размерности?

Примечание. Меня в первую очередь интересуют операции, которые непосредственно применяются к представлению состояния в виде одного взвешенного графа, а не к возможным разложениям на несколько состояний простого графа, как это предлагается в разд. 4.3 из « Абсолютно максимально запутанных состояний графов Кудита ».

В этом контексте неправильно использовать арифметику по модулю. Вместо конечной полевой арифметики следует применять. В где и сопряжение определяется как .$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

Таблицы сложения, умножения и сопряжения имеют следующий вид:

На этой картинке мы имеем , , и такие что и, таким образом, явного несоответствия не возникает.$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$