Имеет ли локальная эквивалентность Клиффорда прямое графическое представление состояний графов кудитов непростой размерности?

9

Этот вопрос является продолжением предыдущего вопроса QCSE: « Хорошо ли определены состояния графов кдитов для не простых измерений? ». Из ответа на вопрос видно, что нет ничего плохого в определении состояний графа с помощьюdоднако, кажется, что другие дефиниционные аспекты графовых состояний не распространяются аналогичным образом на непростое измерение.

В частности, для состояний графов кубитов одним из ключевых аспектов их распространенности и использования является тот факт, что: любые два состояния графа локально эквивалентны Клиффорду тогда и только тогда, когда существует некоторая последовательность локальных дополнений, которая переводит один граф в другой (для простоты, неориентированные графы). Излишне говорить, что это невероятно полезный инструмент для анализа квантовой коррекции ошибок, запутывания и сетевых архитектур.

При рассмотрении n-квититирует состояние графа, эквивалентный граф теперь взвешивается с помощью матрицы смежности , где - вес ребра (с указывает на отсутствие ребра). В случае qudit было показано, что эквивалентность LC также может быть расширена путем обобщения локального дополнения ( ) и включения операции умножения ребер ( ), где: гдеAZdn×nAij(i,j)Aij=0avbv

av:AijAij+aAviAvji,jNG(v),ijbv:AvibAviiNG(v),
a,b=1,,d1и вся арифметика выполняется по модулю .p

Графически это представлено следующими операциями (воспроизведено из ссылки 2 ):

Однако, если состояние графа определено в квиттах не простого измерения, то мы можем видеть, что эти операции (кажется) не в состоянии представить LC-эквивалентность.

Например, возьмем состояние qudit изображающее граф на рис. 1, определенный для измерения qudit , и пусть , так что . В этом случае выполняется затем , и, следовательно, qudit освобождается от всех других qudits с использованием только локальных операций. Очевидно, что это неправильно и происходит из-за проблемы делителей нуля, как упоминалось в ответе на предыдущие вопросы .|GGd=4x=y=z=2A12=A13=A14=221A1i2×2=40mod4i1

Мой вопрос: существует ли какой-либо набор графовых операций, которые должным образом представляют локальную эквивалентность Клиффорда для состояний графов кдитов не простой размерности?

Примечание. Меня в первую очередь интересуют операции, которые непосредственно применяются к представлению состояния в виде одного взвешенного графа, а не к возможным разложениям на несколько состояний простого графа, как это предлагается в разд. 4.3 из « Абсолютно максимально запутанных состояний графов Кудита ».

SLesslyTall
источник
Поскольку вы создали новый тег -состояния , не могли бы вы написать для него тег wiki? Иди сюда . Спасибо.
Санчайан Датта

Ответы:

2

В этом контексте неправильно использовать арифметику по модулю. Вместо конечной полевой арифметики следует применять. В где и сопряжение определяется как .GF(4)={0,1,x,x2}x2=x+1aa¯=a2

Таблицы сложения, умножения и сопряжения имеют следующий вид:

введите описание изображения здесь

На этой картинке мы имеем , , и такие что и, таким образом, явного несоответствия не возникает.00112x3x22×2=3

SLesslyTall
источник
Какое определение «2» вы используете здесь? Отсутствует какая-либо другая конвенция дляF=GF(4)Я бы предположил 2:=1F+1F=0F=:0, в таком случае 2×2=0,
Ниль де Бодрап,
Я добавил уточняющую правку :)
SLesslyTall