Что произойдет, если два отдельно запутанных кубита пройдут через шлюз C-NOT?

Предположим, я преобразовываю состояние следующим образом:

1. Я начинаю с состояния .$\lvert 0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert 0 \rangle$
2. Я запутываю 1-й и 2-й кубиты (с воротами H и C-NOT).
3. Затем я таким же образом запутываю 3-й и 4-й кубиты.

Если я попытаюсь применить H gate и C-NOT к послесловиям 2-го и 3-го кубитов, запутается ли вся система? Что происходит с 1-м и 4-м кубитами в этом случае?

( Перекрестная публикация от Physics.SE )

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>} %$( | 0

$$\left(\ket{00}+\ket{11}\right)\otimes\left(\ket{00}+\ket{11}\right)/2$$ (|0⟩⊗(|0⟩⊗(|00⟩+|11⟩)+|1⟩ $$(\ket{0}(\ket{0}+\ket{1})+\ket{1}(\ket{0}-\ket{1}))\otimes(\ket{00}+\ket{11})/(2\sqrt{2})$$ | Ч⟩=((|0⟩-|1⟩)|1⟩(|10 $$(\ket{0}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})+\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01}))+\ket{1}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})-\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01})))/(2\sqrt{2})$$ Давайте изменим это немного как Обратите внимание, что нам необходимо полное состояние всей системы. Вы не можете говорить о состояниях кубитов 1 и 4 отдельно из-за запутанности. $$\ket{\Psi}=((\ket{0}-\ket{1})\ket{1}(\ket{10}+\ket{01})+(\ket{0}+\ket{1})\ket{0}(\ket{00}+\ket{11}))/(2\sqrt{2})$$

Вопрос «это все еще запутано» прямо «да», но на самом деле это тривиальность гораздо более сложной проблемы. Он запутан в том смысле, что не является состоянием продукта .$\ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2}\otimes\ket{\psi_3}\otimes\ket{\psi_4}$

Один простой способ увидеть, что это состояние запутано, состоит в том, чтобы выбрать двойное разделение, то есть разделить кубиты на две стороны. Например, давайте возьмем кубит 1 в качестве одной стороны (A), а все остальные - в качестве стороны B. Если мы разработаем сокращенное состояние стороны A, состояние продукта (не запутанное) должно было бы дать чистое состояние. Между тем, если приведенное состояние не является чистым, то есть имеет ранг, превышающий 1, состояние определенно запутывается. Например, в этом случае имеет ранг 2. На самом деле это не не имеет значения, что вы сделали между кубитами 2 и 3, какρ

$$\rho_A=\text{Tr}(\ket{\Psi}\bra{\Psi})=\frac{\mathbb{I}}{2},$$ $\rho_A$не зависит от этого унитарного; он не может удалить запутанность, созданную кубитом 1 (возможно, распределить его между кубитами 2 и 3). Тот факт, что вам приходится смотреть на разные двудольные, чтобы увидеть, какие кубиты запутаны, а какие уже начинают указывать на некоторую сложность. Для чистых состояний достаточно взглянуть на каждое из двух разделений 1 кубита с остальными. Если каждая из этих матриц пониженной плотности имеет ранг 1, все ваше состояние отделимо.

Что касается вашего вопроса, вы можете рассмотреть вопросы «моногамии запутанности» - чем больше запутанный кубит 1 с кубитом 2, тем менее запутанный кубит 1 - с кубитом 3 (например), и это можно определить количественно в ряд разных способов. Точно так же вы можете задавать вопросы о том, «какая там запутанность?». Один из подходов состоит в том, чтобы посмотреть, какие типы запутывания можно преобразовать в разные типы (часто называемые «классами эквивалентности SLOCC»). Например, с 3 кубитами люди проводят различие между запутанностью в состоянии W, которая выглядит как и запутыванием в GHZ, которая выглядит как , а также двудольное запутывание между различными парами кубитов, и отделимое состояние с другой.| 000 ⟩ + | 111 $\ket{001}+\ket{010}+\ket{100}$$\ket{000}+\ket{111}$