В бозонной выборке , если мы начнем с 1 фотона в каждой из первых $M$ мод интерферометра, вероятность обнаружения 1 фотона в каждой выходной моде равна: $|\textrm{Perm}(A)|^2$ , где столбцы и строки $A$ являются первыми $M$ столбцами унитарной матрицы интерферометра и всех ее строк.$U$

Это выглядит как для любого унитарного , мы можем построить соответствующий интерферометр, построить матрицу и вычислить абсолютное значение перманента , взяв квадратный корень из вероятности обнаружения одного фотона в каждой моде (который мы получить из эксперимента по отбору проб бозонов). Это правда, или есть какой-то подвох? Люди говорили мне, что вы не можете получить информацию о перманенте из бозонной выборки.$U$$A$$A$

Кроме того, что происходит с остальными столбцами : Как именно экспериментальный результат зависит только от первых столбцов и всех его строк, но никак не от других столбцов ? Эти столбцы вообще не влияют на исход эксперимента в первых режимах?M U U U M$U$$M$$U$$U$$U$$M$

Кажется, это правда, до определенного момента. Как я прочитал Ааронсон в бумагу , он говорит , что если вы начинаете с 1 фотоном в каждом из первых $M$ режимов интерферометра, и найти вероятность $P_S$ , что множество $s_i$ фотоны выводятся в каждом режиме $i\in\{1,\ldots, N\}$ где $\sum_is_i=M$ , есть

$$P_s=\frac{|\text{Per(A)}|^2}{s_1!s_2!\ldots s_M!}.$$ Таким образом, действительно, если вы берете конкретный экземпляр, где$s_i=0$или 1 для каждого возможного выхода, то да, вероятность равна перманенту$A$, где$A$- это первые$M$столбцов$U$и конкретное подмножество$M$строки, определенные местоположениями$s_i=1$. Таким образом, это не совсем так, как указано в вопросе: это не все строки, а только некоторое подмножество, так что$A$квадратная матрица, соответствующая битам, которые «видит» эксперимент, т.е. входные строки и выходные строки. Фотоны никогда Заселите что - нибудь еще, и поэтому закрывают глаза на другие элементы унитарной матрицы .$U$

Это должно быть довольно очевидно. Скажем , у меня есть матрицы V . Если я начну в каком-то базовом состоянии | 0 ⟩ и найти свой продукт, V | 0 ⟩ , то , зная , что говорит мне , очень мало о выходах V | 1 ⟩ и V | 2 ⟩ , в стороне от того, что можно сказать , из знания , что V является унитарным, и , следовательно , столбцы и строки ортонормированы.$3\times 3$$V$$|0\rangle$$V|0\rangle$$V|1\rangle$$V|2\rangle$$V$

Проблема, с которой нужно быть осторожным, заключается в точности: вы запускаете это один раз, и все, что вы получаете, это одна выборка в соответствии с распределением вероятности . Вы запускаете это несколько раз, и вы начинаете собирать информацию о различных вероятностях. Вы запускаете это достаточно много раз, и вы можете получить произвольно точный ответ, но сколько достаточно? Существует два разных способа измерения ошибки при оценке значения p . Вы можете потребовать либо аддитивную ошибку p ± ϵ, либо мультипликативную ошибку p ( 1 ± ϵ ) . Поскольку мы ожидаем, что типичная вероятность будет экспоненциально мала по n + $P_s$$p$$p\pm\epsilon$$p(1\pm\epsilon)$$n+m$мультипликативная ошибка требует гораздо большей точности, которая не может быть эффективно достигнута с помощью выборки. С другой стороны, приближение аддитивной ошибки может быть достигнуто.

В то время как мультипликативная ошибка - это то, что люди обычно хотят вычислить, аддитивная ошибка также может быть интересной сущностью. Например, в оценке многочлена Джонса .

Ааронсон еще раз указывает нам на то, где впервые была установлена ​​связь между отбором проб Бозона и Перманентом:

Со времени работы Кайанелло в 1953 году (если не раньше) было известно, что амплитуды для процессов бозона могут быть записаны как перманенты матриц n × n .$n$$n\times n$

Вместо этого их основной вклад

является доказательством связи между способностью классических компьютеров решать приближенную проблему BosonSampling и их способностью приближать постоянную

то есть понять проблему аппроксимации, связанную, например, с конечной выборкой, и описать связанные с этим последствия вычислительной сложности: мы считаем, что такую ​​вещь трудно оценить классически.

Вы не можете эффективно восстановить абсолютные значения амплитуд, но если вы разрешите произвольное количество выборок, вы сможете оценить их с любой степенью точности, которая вам нравится.

Более конкретно, если входное состояние представляет собой одиночный фотон в каждой из первых мод, и каждый желает извлечь произвольное количество выборок из выходного сигнала, то в принципе возможно оценить перманент A до любой степени Точность, которая нравится, подсчитывая, сколько раз n входных фотонов выходят из первых n различных выходных портов. Следует отметить, однако, что это не имеет большого отношения к BosonSampling, поскольку результат твердости сохраняется в режиме с числом мод, значительно превышающим число фотонов, и это касается эффективности дискретизации.$n$$A$$n$$n$

BosonSampling

Я попробую очень краткое введение в то, что такое бозонная выборка, но следует отметить, что я не могу лучше справиться с этим, чем сам Ааронсон, так что, вероятно, будет хорошей идеей взглянуть на соответствующие сообщения в блоге его (например, blog /? p = 473 и blog /? p = 1177 ) и ссылки в них.

BosonSampling - это проблема выборки . Это может немного смущать, так как люди обычно привыкли думать о проблемах с определенными ответами. Проблема выборки отличается тем, что решением проблемы является набор выборок, взятых из некоторого распределения вероятности.

Действительно, проблема, которую решает бозонный пробоотборник, заключается в том, чтобы отбирать образцы из определенного распределения вероятностей. Более конкретно, выборка из распределения вероятностей возможных конечных (многозонных) состояний.

Рассмотрим в качестве простого примера случай с 2-мя фотонами в 4-х режимах, и предположим, что мы зафиксировали входное состояние как (то есть, один фотон в каждом из двух первых двух режимов ввода). Игнорируя выходные состояния с более чем одним фотоном в каждой моде, есть ($(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$возможных выходных двухфотонных состояний: (1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1)и(0$\binom{4}{2}=6$$(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ . Обозначим для удобства с о я , я = 1 , . , 6 я -м один (так, например, о 2 = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) ). Тогда возможным решением BosonSampling может быть ряд результатов: o 1 , o 4 , o 2 , o 2 , o 5$(0,0,1,1)$$o_i, i=1,.,6$$i$$o_2=(1,0,1,0)$

$$o_1, o_4, o_2, o_2, o_5.$$

Чтобы провести аналогию с, возможно, более знакомым случаем, это все равно, что сказать, что мы хотим взять выборку из гауссовского распределения вероятностей. Это означает, что мы хотим найти последовательность чисел, которая, если мы нарисуем их достаточно и поместим их в гистограмму, будет производить нечто, близкое к гауссовскому.

Вычислительные перманенты

Оказывается, что амплитуда вероятности заданного входного состояния на заданном выходном состоянии | с ⟩ есть (пропорционально к нему ) постоянной подходящей матрице , построенной из унитарной матрицы , характеризующей (однобозонная) эволюцию.$|\boldsymbol r\rangle$$|\boldsymbol s\rangle$

Более конкретно, если обозначает список назначений режима$\boldsymbol R$${}^{(1)}$$|\boldsymbol r\rangle$$\boldsymbol S$$|\boldsymbol s\rangle$$U$$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$$|\boldsymbol r\rangle$$|\boldsymbol s\rangle$

$$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s) = \frac{1}{\sqrt{\boldsymbol r!\boldsymbol s!}} \operatorname{perm} U[\boldsymbol R|\boldsymbol S],$$ with $U[\boldsymbol R|\boldsymbol S]$ denoting the matrix built by taking from $U$ the rows specified by $\boldsymbol R$ and the columns specified by $\boldsymbol S$.

Thus, considering the fixed input state $|\boldsymbol r_0\rangle$, the probability distribution of the possible outcomes is given by the probabilities

$$p_{\boldsymbol s} = \frac{1}{\boldsymbol r_0! \boldsymbol s!} \lvert \operatorname{perm}U[\boldsymbol R|\boldsymbol S] \rvert^2.$$

BosonSampling is the problem of drawing "points" according to this distribution.

This is not the same as computing the probabilities $p_s$, or even computing the permanents themselves. Indeed, computing the permanents of complex matrices is hard, and it is not expected even for quantum computers to be able to do it efficiently.

The gist of the matter is that sampling from a probability distribution is in general easier than computing the distribution itself. While a naive way to sample from a distribution is to compute the probabilities (if not already known) and use those to draw the points, there might be smarter ways to do it. A boson sampler is something that is able to draw points according to a specific probability distribution, even though the probabilities making up the distribution itself are not known (or better said, not efficiently computable).

Furthermore, while it may look like the ability to efficiently sample from a distribution should translate into the ability of efficiently estimating the underlying probabilities, this is not the case as soon as there are exponentially many possible outcomes. This is indeed the case of boson sampling with uniformly random unitaries (that is, the original setting of BosonSampling), in which there are $\binom{m}{n}$ possible $n$-boson in $m$-modes output states (again, neglecting states with more than one boson in some mode). For $m\gg n$, this number increases exponentially with $n$. This means that, in practice, you would need to draw an exponential number of samples to even have a decent chance of seeing a single outcome more than once, let alone estimate with any decent accuracy the probabilities themselves (it is important to note that this is not the core reason for the hardness though, as the exponential number of possible outcomes could be overcome with smarter methods).

In some particular cases, it is possible to efficiently estimate the permanent of matrices using a boson sampling set-up. This will only be feasible if one of the submatrices has a large (i.e. not exponentially small) permanent associated with it, so that the input-output pair associated with it will happen frequently enough for an estimate to be feasible in polynomial time. This is a very atypical situation, and will not arise if you draw unitaries at random. For a trivial example, consider matrices that are very close to identity - the event in which all photons come out in the same modes they came in will correspond to a permanent which can be estimated experimentally. Besides only being feasible for some particular matrices, a careful analysis of the statistical error incurred in evaluating permanents in this way shows that this is not more efficient than known classical algorithms for approximating permanents (technically, within a small additive error) ${}^{(2)}$.

Columns involved

Let $U$ be the unitary describing the one-boson evolution. Then, basically by definition, the output amplitudes describing the evolution of a single photon entering in the $k$-th mode are in the $k$-th column of $U$.

The unitary describing the evolution of the many-boson states, however, is not actually $U$, but a bigger unitary, often denoted by $\varphi_n(U)$, whose elements are computed from permanents of matrices built out of $U$.

Informally speaking though, if the input state has photons in, say, the first $n$ modes, then naturally only the first $n$ columns of $U$ must be necessary (and sufficient) to describe the evolution, as the other columns will describe the evolution of photons entering in modes that we are not actually using.

---

(1) This is just another way to describe a many-boson state. Instead of characterizing the state as the list of occupation numbers for each mode (that is, number of bosons in first mode, number in second, etc.), we characterize the states by naming the mode occupied by each boson. So, for example, the state $(1, 0, 1, 0)$ can be equivalently written as $(1, 3)$, and these are two equivalent ways to say that there is one boson in the first and one boson in the third mode.

(2): S. Aaronson and T. Hance. "Generalizing and Derandomizing Gurvits's Approximation Algorithm for the Permanent". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/