Явные ограничения скорости Либа-Робинсона

Оценки Либа-Робинсона описывают, как эффекты распространяются через систему благодаря локальному гамильтониану. Они часто описываются в виде где и - операторы, разделенные расстоянием на решетке, где гамильтониан имеют локальные (например , ближайшие сосед) взаимодействия на этой решетке, ограниченные некоторой силой . В доказательство этого Lieb Робинсон связаны обычно показывают существование скорости (которая зависит от ). Это часто очень полезно для ограничения свойств в этих системах. Например, были некоторые действительно хорошие результаты здесь

$$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$$ $A$$B$$l$$J$$v$$J$ относительно того, сколько времени требуется для генерации состояния GHZ с использованием гамильтониана ближайшего соседа.

Проблема , что у меня было в том , что доказательства являются достаточно общими , что трудно получить плотное значение на то , что на самом деле скорость является для любой данной системы.

Чтобы быть точным, представьте одномерную цепочку кубитов, связанных гамильтонианом где для всех . Здесь , и представляют оператор Паули, применяемый к данному кубиту , и везде. Можете ли вы дать хорошую (то есть как можно более точную) верхнюю оценку скорости Либа-Робинсона для системы в формуле. (1)?

$$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$$ $J_n\leq J$$n$$X_n$$Y_n$$Z_n$$n$$\mathbb{I}$$v$

Этот вопрос можно задать при двух разных предположениях:

• и все фиксированные во времени$J_n$$B_n$
• и могут изменяться во времени.$J_n$$B_n$

Первое является более сильным предположением, которое может упростить доказательства, а второе обычно включается в формулировку границ Либа-Робинсона.

---

мотивация

Квантовые вычисления и, в более общем смысле, квантовая информация сводятся к созданию интересных квантовых состояний. Через таких работ, как это , мы видим , что информация занимает определенное количество времени , чтобы распространяться от одного места к другому в квантовой системе , подвергающейся эволюцию благодаря гамильтоново , например, в формуле. (1), и что квантовые состояния, такие как состояния GHZ, или состояния с топологическим порядком, производят определенное количество времени. В настоящее время результат показывает соотношение масштабирования, например, требуемое время .$\Omega(N)$

Итак, давайте говорить , что я придумал схему , которая делает передачу информации, или производит GHZ состояния и т.д. таким образом , что весы линейно в . Насколько хороша эта схема на самом деле? Если у меня есть явная скорость, я могу видеть, насколько точно соответствует коэффициент масштабирования в моей схеме по сравнению с нижней границей.$N$

Если я думаю, что однажды мне захочется увидеть протокол, реализованный в лаборатории, я очень заинтересован в оптимизации этих коэффициентов масштабирования, а не только в широкой функциональности масштабирования, потому что чем быстрее я смогу реализовать протокол, тем меньше у него шансов. для шума, чтобы прийти и испортить все.

---

Дальнейшая информация

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ В этом гамильтониане есть несколько приятных особенностей, которые, как я полагаю, упрощают вычисления. В частности, гамильтониан имеет подпространственную структуру, основанную на числе 1 в стандартном базисе (она называется сохраняющей возбуждение), и, что еще лучше, преобразование Джордана-Вигнера показывает, что все свойства высших подпространств возбуждения могут быть получены из подпространства 1-возбуждения.$N\times N$$h$$2^N\times 2^N$$H$h = N ∑ n = 1 B n | п ⟩ ⟨ п | + Н - 1 Σ п = 1 J п ( | п ⟩ ⟨ п + 1 | + | п + 1 ⟩ ⟨ п | ) . v = 2 Дж 2 Джгде Есть некоторые доказательства того, что скорость Либа-Робинсона равна , как, например, здесь и здесь , но все они используют цепочку, близкую к равномерно связанной, которая имеет групповую скорость (и я предполагаю, что групповая скорость тесно связана с Скорость Либа-Робинсона). Это не доказывает, что все возможные варианты силы сцепления имеют ограниченную скорость.

$$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$$ $v=2J$$2J$

Я могу добавить немного больше к мотивации. Рассмотрим временную эволюцию одиночного возбуждения, начинающегося на одном конце цепочки, , и какова его амплитуда для прибытия на другой конец цепочки , через некоторое время . Для первого порядка в это Вы можете видеть экспоненциальную функциональность, которая, как вы ожидаете, находится за пределами «светового конуса», определенного системой Либа-Робинсона, но, что более важно, если вы хотите максимизировать эту амплитуду, вы установите все$\ket{1}$$\ket{N}$$\delta t$$\delta t$

$$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$$ $J_n=J$, Таким образом, в короткие промежутки времени равномерно связанная система приводит к самой быстрой передаче. Пытаясь подтолкнуть это дальше, вы можете немного выдумать, когда можете Взяв большой предел и используя формулу Стирлинга на факториале, что предполагает максимальную скорость около . Близко, но вряд ли строго (так как условия высшего порядка не пренебрежимо малы)! $$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$$ $N$ $$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$$ $eJ$

$$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$$

Позвольте мне сначала ответить на общий вопрос, как получить достаточно узкую скорость Либа-Робинсона (ЛР), когда вы сталкиваетесь с общей моделью локально взаимодействующих решеток, а затем я вернусь к модели 1D XY в вашем вопросе, которая очень особенный, чтобы быть точно решаемым.

---

Общий метод

Метод получения наиболее плотной границы на сегодняшний день (для общей модели взаимодействия на коротких расстояниях) представлен в Ref1 = arXiv: 1908.03997 . Основная идея состоит в том, что норма неравного временного коммутаторамежду произвольными локальными операторами может быть ограничен сверху решением системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, живущих на графике коммутативности модели. Граф коммутативности, представленный в разделе II A в [1], может быть легко взят из модели гамильтониана и предназначен для отражения коммутационных отношений между различными локальными операторами, представленными в$\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$$\hat{H}$$\hat{H}$, В трансляционно-инвариантных системах этот набор дифференциальных уравнений может быть легко решен с помощью преобразования Фурье, и верхняя граница скорости LR может быть вычислена из наибольшей собственной частоты с помощью Уравнение (31) из Ref1 . Далее я буду применять этот метод к модели 1D XY в качестве педагогического примера. Для простоты я сосредоточусь на не зависящем от времени и инвариантном переводе случае , (результирующая граница не зависит от знаков$\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$$|B_n|=B>0$$|J_n|=J>0$$B_n,J_n$). В случае неинвариантного перевода, зависящего от времени, вы можете либо численно решить дифференциальное уравнение (что является простой вычислительной задачей для систем тысяч сайтов), либо использовать общую верхнюю границу и перейдем к использованию метода, описанного ниже (но это несколько ухудшает герметичность по сравнению с численным методом).$|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

1. Сначала нарисуем граф коммутативности, как показано ниже. Каждый оператор в гамильтониане ~ ( , , ) представлен вершиной, и мы связываем две вершины тогда и только тогда, когда соответствующие операторы не коммутируют ( или, в текущем случае, анти-коммутируют). $X_{n}X_{n+1}$$Y_nY_{n+1}$$Z_n$

2. Затем запишите дифференциальные уравнения (10) из Ref1 :

   $$\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$$

3. Преобразуя приведенное выше уравнение Фурье, мы имеем Собственные частоты: . Скорость LR задается уравнением (31) из Ref1 : где

   $$\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $$v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$$ $$\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$$

Примечание. Эта граница расходится, когда , а скорость распространения физической информации остается конечной. Мы можем избавиться от этой проблемы, используя метод в гл. VI из Ref1 . Результатом является в этом пределе, где определяется как решение уравнения .$B/J\to \infty$$v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$$\mathcal{X}_y$$x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

---

Скоростные границы для некоторых классических моделей

Вышеуказанный метод является полностью общим. Если вас интересует больше, я перечислил оценки скорости для некоторых классических моделей в следующей таблице, полученные аналогичным образом. Обратите внимание, что скорость LR ограничена сверху наименьшим из всех перечисленных выражений (поэтому в разных областях параметров следует использовать разные выражения). Функция определяется как самый большой корень изВсе параметры предполагаются положительными (просто примите абсолютное значение для отрицательных случаев).$v_{\text{LR}}$$F(J_x,J_y,J_z)$$x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

$$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$$

Что касается того, насколько хороши эти оценки, я не исследовал в целом, но для 1D TFIM в критической точке точное решение дает , в то время как вышеупомянутая оценка дает . Точно так же в точке FH и гейзенберговской XYZ все вышеуказанные границы больше точного решения на коэффициент . [На самом деле в этих особых точках последние два эквивалентны развязанным цепям TFIM, как можно прямо судить по их графику коммутативности.]$J=h$$v_{\text{LR}}=2J$$2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$$U=0$$J_x=J_y,J_z=0$$\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

---

Более жесткая оценка для 1D XY путем сопоставления со свободными фермионами

Теперь поговорим подробнее о модели 1D XY. Как вы заметили, это точно решается путем сопоставления со свободными фермионами: Для общих вам необходимо решить проблему свободных фермионов численно, но позвольте мне упомянуть два частных случая, которые аналитически трактуемы.

$$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$$ $B_n(t),J_n(t)$

1. $B_n(t)=B,J_n(t)=J$ фиксированы и трансляционно инвариантны. Тогда точное решение: где - функция Бесселя порядка, Таким образом, скорость LR равна .

   $$\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$$|n-m|$$\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$

2. $B_n,J_n$ фиксированы во времени, но абсолютно случайны (подавленный беспорядок). Затем из -за локализации многих тел (или локализации Андерсона на фермионной картине) информация в этой системе не распространяется, поэтому . Более строго, в arXiv: quant-ph / 0703209 для неупорядоченного случая доказана следующая оценка: с замедляющимся логарифмическим световым конусом .v LR = 0 [ A X ( t ) , B Y ( 0 ) ] ≤ c o n s t . T$v_{\text{LR}}=0$

   $$[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$$ $d_{XY}=\xi \ln t$