Явные ограничения скорости Либа-Робинсона

22

Оценки Либа-Робинсона описывают, как эффекты распространяются через систему благодаря локальному гамильтониану. Они часто описываются в виде где и - операторы, разделенные расстоянием на решетке, где гамильтониан имеют локальные (например , ближайшие сосед) взаимодействия на этой решетке, ограниченные некоторой силой . В доказательство этого Lieb Робинсон связаны обычно показывают существование скорости (которая зависит от ). Это часто очень полезно для ограничения свойств в этих системах. Например, были некоторые действительно хорошие результаты здесь

|[A,B(t)]|Cevtl,
ABlJvJ относительно того, сколько времени требуется для генерации состояния GHZ с использованием гамильтониана ближайшего соседа.

Проблема , что у меня было в том , что доказательства являются достаточно общими , что трудно получить плотное значение на то , что на самом деле скорость является для любой данной системы.

Чтобы быть точным, представьте одномерную цепочку кубитов, связанных гамильтонианом где для всех . Здесь , и представляют оператор Паули, применяемый к данному кубиту , и везде. Можете ли вы дать хорошую (то есть как можно более точную) верхнюю оценку скорости Либа-Робинсона для системы в формуле. (1)?

(1)H=n=1NBn2Zn+n=1N1Jn2(XnXn+1+YnYn+1),
JnJnXnYnZnnIv

Этот вопрос можно задать при двух разных предположениях:

  • и все фиксированные во времениJnBn
  • и могут изменяться во времени.JnBn

Первое является более сильным предположением, которое может упростить доказательства, а второе обычно включается в формулировку границ Либа-Робинсона.


мотивация

Квантовые вычисления и, в более общем смысле, квантовая информация сводятся к созданию интересных квантовых состояний. Через таких работ, как это , мы видим , что информация занимает определенное количество времени , чтобы распространяться от одного места к другому в квантовой системе , подвергающейся эволюцию благодаря гамильтоново , например, в формуле. (1), и что квантовые состояния, такие как состояния GHZ, или состояния с топологическим порядком, производят определенное количество времени. В настоящее время результат показывает соотношение масштабирования, например, требуемое время .Ω(N)

Итак, давайте говорить , что я придумал схему , которая делает передачу информации, или производит GHZ состояния и т.д. таким образом , что весы линейно в . Насколько хороша эта схема на самом деле? Если у меня есть явная скорость, я могу видеть, насколько точно соответствует коэффициент масштабирования в моей схеме по сравнению с нижней границей.N

Если я думаю, что однажды мне захочется увидеть протокол, реализованный в лаборатории, я очень заинтересован в оптимизации этих коэффициентов масштабирования, а не только в широкой функциональности масштабирования, потому что чем быстрее я смогу реализовать протокол, тем меньше у него шансов. для шума, чтобы прийти и испортить все.


Дальнейшая информация

В этом гамильтониане есть несколько приятных особенностей, которые, как я полагаю, упрощают вычисления. В частности, гамильтониан имеет подпространственную структуру, основанную на числе 1 в стандартном базисе (она называется сохраняющей возбуждение), и, что еще лучше, преобразование Джордана-Вигнера показывает, что все свойства высших подпространств возбуждения могут быть получены из подпространства 1-возбуждения.N×Nh2N×2NHh = N n = 1 B n | п п | + Н - 1 Σ п = 1 J п ( | п п + 1 | + | п + 1 п | ) . v = 2 Дж 2 Джгде Есть некоторые доказательства того, что скорость Либа-Робинсона равна , как, например, здесь и здесь , но все они используют цепочку, близкую к равномерно связанной, которая имеет групповую скорость (и я предполагаю, что групповая скорость тесно связана с Скорость Либа-Робинсона). Это не доказывает, что все возможные варианты силы сцепления имеют ограниченную скорость.

h=n=1NBn|nn|+n=1N1Jn(|nn+1|+|n+1n|).
v=2J2J

Я могу добавить немного больше к мотивации. Рассмотрим временную эволюцию одиночного возбуждения, начинающегося на одном конце цепочки, , и какова его амплитуда для прибытия на другой конец цепочки , через некоторое время . Для первого порядка в это Вы можете видеть экспоненциальную функциональность, которая, как вы ожидаете, находится за пределами «светового конуса», определенного системой Либа-Робинсона, но, что более важно, если вы хотите максимизировать эту амплитуду, вы установите все|1|Nδtδt

N|eihδt|1=δtN1(N1)!n=1N1Jn+O(δtN).
Jn=J, Таким образом, в короткие промежутки времени равномерно связанная система приводит к самой быстрой передаче. Пытаясь подтолкнуть это дальше, вы можете немного выдумать, когда можете Взяв большой предел и используя формулу Стирлинга на факториале, что предполагает максимальную скорость около . Близко, но вряд ли строго (так как условия высшего порядка не пренебрежимо малы)!
tN1(N1)!n=1N1Jn1
N
etJN11,
eJ

DaftWullie
источник
Вы рассчитали лучшую LR-оценку из доказательств для этой модели? Как это соотносится со скоростью, которую вы цитируете?
Норберт Шух
1
Хорошо, я признаю, что это вопрос квантовых вычислений, по крайней мере, так, как я его сейчас : «Каков выбор и (с учетом некоторых ограничений), который дает максимальную скорость для передачи информации / состояния / .... " --- Это правильная интерпретация? B nJnBn
Норберт Шух
@NorbertSchuch Не совсем. Я хочу иметь возможность сказать: «Я придумал набор соединений, которые достигают протокола с определенным масштабированием. Известно, что этот протокол ограничен границами Либа-Робинсона. Насколько я близок к насыщению этого ограничения?» в качестве меры, насколько быстро мой протокол.
DaftWullie
@DaftWullie Итак, вы задаетесь вопросом: «Насколько я близок к тому, чтобы быть оптимальным» или «Насколько я близок к какой-то границе (выбирая самую тесную из возможных)»?
Норберт Шух
1
@ user1271772 Это правильно. B(t)=eiHtB(0)eiHt
DaftWullie

Ответы:

4

Позвольте мне сначала ответить на общий вопрос, как получить достаточно узкую скорость Либа-Робинсона (ЛР), когда вы сталкиваетесь с общей моделью локально взаимодействующих решеток, а затем я вернусь к модели 1D XY в вашем вопросе, которая очень особенный, чтобы быть точно решаемым.


Общий метод

Метод получения наиболее плотной границы на сегодняшний день (для общей модели взаимодействия на коротких расстояниях) представлен в Ref1 = arXiv: 1908.03997 . Основная идея состоит в том, что норма неравного временного коммутаторамежду произвольными локальными операторами может быть ограничен сверху решением системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, живущих на графике коммутативности модели. Граф коммутативности, представленный в разделе II A в [1], может быть легко взят из модели гамильтониана и предназначен для отражения коммутационных отношений между различными локальными операторами, представленными в[AX(t),BY(0)]H^H^, В трансляционно-инвариантных системах этот набор дифференциальных уравнений может быть легко решен с помощью преобразования Фурье, и верхняя граница скорости LR может быть вычислена из наибольшей собственной частоты с помощью Уравнение (31) из Ref1 . Далее я буду применять этот метод к модели 1D XY в качестве педагогического примера. Для простоты я сосредоточусь на не зависящем от времени и инвариантном переводе случае , (результирующая граница не зависит от знаковωmax(iκ)|Bn|=B>0|Jn|=J>0Bn,Jn). В случае неинвариантного перевода, зависящего от времени, вы можете либо численно решить дифференциальное уравнение (что является простой вычислительной задачей для систем тысяч сайтов), либо использовать общую верхнюю границу и перейдем к использованию метода, описанного ниже (но это несколько ухудшает герметичность по сравнению с численным методом).|Jn(t)|J, |Bn(t)|B

  1. Сначала нарисуем граф коммутативности, как показано ниже. Каждый оператор в гамильтониане ~ ( , , ) представлен вершиной, и мы связываем две вершины тогда и только тогда, когда соответствующие операторы не коммутируют ( или, в текущем случае, анти-коммутируют). XnXn+1YnYn+1Znвведите описание изображения здесь

  2. Затем запишите дифференциальные уравнения (10) из Ref1 :

    γ¯˙α,n=J[γ¯α,n1(t)+γ¯α,n+1(t)]+B[γ¯3,n(t)+γ¯3,n+1(t)],  α=1,2,γ¯˙3,n=Jα=1,2[γ¯α,n1(t)+γ¯α,n(t)].

  3. Преобразуя приведенное выше уравнение Фурье, мы имеем Собственные частоты: . Скорость LR задается уравнением (31) из Ref1 : где

    ddt(γ¯1,kγ¯2,kγ¯3,k)=(2Jcosk0B(1+eik)02JcoskB(1+eik)J(1+eik)J(1+eik)0)(γ¯1,kγ¯2,kγ¯3,k).
    2Jcosk,Jcosk±(Jcosk)2+2BJ(1+cosk)
    vLRminκ>0ωmax(iκ)κ=ZB2JJ,
    Zyminκ>0coshκ+cosh2κ+4y(1+coshκ)κ.

Примечание. Эта граница расходится, когда , а скорость распространения физической информации остается конечной. Мы можем избавиться от этой проблемы, используя метод в гл. VI из Ref1 . Результатом является в этом пределе, где определяется как решение уравнения .B/JvLR4X0JXyxarcsinh(x)=x2+1+y


Скоростные границы для некоторых классических моделей

Вышеуказанный метод является полностью общим. Если вас интересует больше, я перечислил оценки скорости для некоторых классических моделей в следующей таблице, полученные аналогичным образом. Обратите внимание, что скорость LR ограничена сверху наименьшим из всех перечисленных выражений (поэтому в разных областях параметров следует использовать разные выражения). Функция определяется как самый большой корень изВсе параметры предполагаются положительными (просто примите абсолютное значение для отрицательных случаев).vLRF(Jx,Jy,Jz)x3(JxJy+JxJz+JyJz)x2JxJyJz=0.

ModelvLRd-dimensional TFIM2X0dJh=3.02dJhH^=JmnXmXn+hnZn4Xd1ddJ8.93dJ4X0dh=6.04dhd-dimensional Fermi-Hubbard2X3U4dJdJH^=Jmn,s=↑,(am,san,s+H.c.)8Xd1ddJ17.9dJ  +UnananananZU/JJ (d=1)1D Heisenberg XYZ4X0F(Jx,Jy,Jz)H^=n(JxXnXn+1+JyYnYn+1+JzZnZn+1)34.6max{Jx,Jy}

Что касается того, насколько хороши эти оценки, я не исследовал в целом, но для 1D TFIM в критической точке точное решение дает , в то время как вышеупомянутая оценка дает . Точно так же в точке FH и гейзенберговской XYZ все вышеуказанные границы больше точного решения на коэффициент . [На самом деле в этих особых точках последние два эквивалентны развязанным цепям TFIM, как можно прямо судить по их графику коммутативности.]J=hvLR=2J2X0J3.02JU=0Jx=Jy,Jz=0X01.50888


Более жесткая оценка для 1D XY путем сопоставления со свободными фермионами

Теперь поговорим подробнее о модели 1D XY. Как вы заметили, это точно решается путем сопоставления со свободными фермионами: Для общих вам необходимо решить проблему свободных фермионов численно, но позвольте мне упомянуть два частных случая, которые аналитически трактуемы.

H^=nBn(anan1/2)+nJn(anan+1+H.c.).
Bn(t),Jn(t)

  1. Bn(t)=B,Jn(t)=J фиксированы и трансляционно инвариантны. Тогда точное решение: где - функция Бесселя порядка, Таким образом, скорость LR равна .

    an(t)=12πππa~kei2Jtcoskeikxdk=mJ|nm|(2Jt)am(0),
    J|nm|(2Jt)|nm|vLRXY=2J

  2. Bn,Jn фиксированы во времени, но абсолютно случайны (подавленный беспорядок). Затем из -за локализации многих тел (или локализации Андерсона на фермионной картине) информация в этой системе не распространяется, поэтому . Более строго, в arXiv: quant-ph / 0703209 для неупорядоченного случая доказана следующая оценка: с замедляющимся логарифмическим световым конусом .v LR = 0 [ A X ( t ) , B Y ( 0 ) ] c o n s t . TvLR=0

    [AX(t),BY(0)]const. t edXY/ξ,
    dXY=ξlnt

Lagrenge
источник
Должен ли я вывести из того, что вы говорите, что для каждой модели (включая модели без трансляционной инвариантности) с , скорость равна ? XY|Jn|JvLRXY2J
DaftWullie
@DaftWullie Нет, вы можете использовать только общую верхнюю границу для параметров в общем методе, поскольку общий метод всегда дает границу, которая строго не уменьшается в абсолютном значении любого коэффициента. Оценка получается из точного решения со свободным фермионом, в котором вы не можете использовать общую верхнюю оценку для параметров и должны решать ее в каждом конкретном случае. Если трансляционно инвариантен, то вы можете установить в общем методе, так как термин коммутирует с , и получить . В п ( т ) В = 0 В Н v LR2 X 0 J = 3,02 Дж2JBn(t)B=0BH^vLR2X0J=3.02J
Лагренж
@DaftWullie Уважаемый DaftWullie, если вы считаете, что что-то все еще отсутствует в моем ответе, или какой-то момент все еще неясен, пожалуйста, дайте мне знать.
Лагренж
ответ выглядит потенциально полезным. У меня еще не было времени взглянуть на вашу газету (может быть, пару недель). Предполагая, что я все понимаю, все в порядке, поэтому я приму ваш ответ.
DaftWullie