Строгое доказательство безопасности за квантовые деньги Виснера

В своей знаменитой статье « Сопряженное кодирование » (написано около 1970 года) Стивен Виснер предложил схему для квантовых денег, которую безоговорочно невозможно подделать, предполагая, что банк-эмитент имеет доступ к гигантской таблице случайных чисел и что банкноты могут быть возвращены в банк для проверки. В схеме Wiesner, каждая банкнота состоит из классического «серийного номера» , вместе с квантовыми деньгами состоянием , состоящие из unentangled кубитов, каждый из которых либо| ф сек ⟩ $s$$|\psi_s\rangle$$n$

$$|0\rangle,\ |1\rangle,\ |+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2},\ \text{or}\ |-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}.$$

Банк запоминает классическое описание для каждого . И поэтому, когда возвращается в банк для проверки, банк может измерить каждый кубит в правильной основе (либо либо ) и убедитесь, что он получает правильные результаты.s | ψ s ⟩ | ψ s ⟩ { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } { | + ⟩ , | - ⟩ $|\psi_s\rangle$$s$$|\psi_s\rangle$$|\psi_s\rangle$$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$\{|+\rangle,|-\rangle\}$

С другой стороны, из-за отношения неопределенности (или, альтернативно, теоремы об отсутствии клонирования), «интуитивно очевидно», что если фальшивомонетчик, который не знает правильных оснований, попытается скопировать , то вероятность того, что оба выходных состояния фальшивомонетчика пройдут проверочный тест банка, может быть не более для некоторой константы . Кроме того, это должно быть верно независимо от того, какую стратегию использует фальшивомонетчик, в соответствии с квантовой механикой (например, даже если фальшивомонетчик использует причудливые запутанные измерения на ).с п с < 1 | ψ s$|\psi_s\rangle$$c^n$$c<1$$|\psi_s\rangle$

Однако, когда я писал статью о других схемах с квантовыми деньгами, мой соавтор и я поняли, что мы нигде не видели строгого доказательства вышеуказанного утверждения или явной верхней границы для : ни в оригинальной статье Виснера, ни в более поздней.$c$

Итак, есть такое доказательство (с верхней границей ) были опубликованы? Если нет, то можно ли получить такое доказательство в более или менее прямой форме из (скажем) приблизительных версий теоремы об отсутствии клонирования или результатов о безопасности схемы распределения квантовых ключей BB84?$c$

Возможно, я должен уточнить, что я ищу больше, чем просто снижение безопасности BB84. Скорее, я ищу явную верхнюю границу вероятности успешной контрафакции (то есть на ) - и в идеале также некоторое понимание того, как выглядит оптимальная стратегия контрафакции. Т.е. оптимальная стратегия просто измеряет каждый кубит независимо, скажем, на основе| ψ s$c$$|\psi_s\rangle$

$$\{ \cos(\pi/8)|0\rangle+\sin(\pi/8)|1\rangle, \sin(\pi/8)|0\rangle-\cos(\pi/8)|1\rangle \}?$$

Или есть запутанная стратегия подделки, которая делает лучше?

Прямо сейчас, лучшими из известных мне стратегий контрафакции являются (а) приведенная выше стратегия и (б) стратегия, которая просто измеряет каждый кубит на основе и "надеется на Лучший." Интересно, что обе эти стратегии достигают вероятности успеха . Итак, моя гипотеза о том, что может быть правильным ответом. В любом случае тот факт, что является нижней границей c, исключает любой аргумент безопасности для схемы Виснера, который является «слишком» простым (например, любой аргумент о том, что нет ничего нетривиального, что может сделать фальшивомонетчик, и поэтому правильный ответ( 5 / 8 ) ^п ( 5 / 8 ) ^п 5 / 8 с = 1 /$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$(5/8)$^$n$$(5/8)$^$n$$5/8$$c=1/2$).

Абель Молина, Томас Видик и я доказали, что правильный ответ в этой статье:$c=3/4$

А. Молина, Т. Видик и Дж. Уотроус. Оптимальные контрафактные атаки и обобщения за квантовые деньги Виснера. Труды 7-й конференции по теории квантовых вычислений, коммуникации и криптографии, том 7582 «Конспект лекций в области компьютерных наук», стр. 45–64, 2013. (См. Также arXiv: 1202.4010.)

Это предполагает, что фальшивомонетчик использует то, что мы называем «простой контрафактной атакой», что означает однократную попытку преобразования одной копии денежного состояния в две. (Я интерпретирую ваш вопрос о таких атаках.)

Атака Brodutch, Nagaj, Sattath и Unruh, на которую ссылается @Rob (и которая, на мой взгляд, является фантастическим результатом), требует, чтобы фальшивомонетчик неоднократно взаимодействовал с банком, и предполагает, что банк предоставит фальшивомонетчику такое же денежное состояние после каждая проверка.

В статье описывается оптимальный канал, который не является каналом для разрушения запутывания (т.е. измеряет и подготавливает) канал. Это пример клонера, и явно он выглядит так: где A 0 =

$$\Phi(\rho) = A_0 \rho A_0^{\dagger} + A_1 \rho A_1^{\dagger}$$ $$A_0 = \frac{1}{\sqrt{12}} \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad A_1 = \frac{1}{\sqrt{12}} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

Для разных наборов состояний денег и достоинств вы можете получить разные оптимальные значения и клонеры. Например, если денежные состояния также включают в себя , то клонер Бужека-Хиллери является оптимальным, и правильное значение падает до 2/3.$| 0\rangle \pm i |1\rangle$$c$

«Я ищу явную верхнюю границу вероятности успешной подделки ...».

В « Адаптивной атаке на квантовые деньги Виснера» Аарона Бродуча, Даниэля Нагажа, Ор Саттата и Доминика Унру, последний раз пересмотренной 10 мая 2016 года, авторы утверждают, что показатель успеха составляет: «~ 100%».

Бумага делает эти заявления:

Основные результаты. Мы показываем, что в строгом тестовом варианте схемы Виснера (то есть, если владельцу возвращаются только действительные деньги), учитывая одно действительное квантовое состояние денег , фальшивомонетчик может эффективно создавать столько копий сколько он пожелает (следовательно, схема небезопасна ). Он может рассчитывать на квантовый эффект Зенона для защиты - если он лишь незначительно нарушит состояние квантовых денег, счет, скорее всего, будет возвращен в исходное состояние после теста. Интересно, что это позволяет фальшивомонетчику различать четыре различных состояния кубита с произвольно малой вероятностью быть пойманным.| $ S $(s,\left|\$_s\right>)$$\left|\$_s\right>$

...

В этой статье мы сосредоточились на деньгах Виснера в бесшумной обстановке. То есть банк отклоняет деньги, если хотя бы один кубит измерен неправильно. В более реалистичных условиях нам приходится иметь дело с шумом, и банк хотел бы допустить ограниченное количество ошибок в квантовом состоянии [PYJ + 12], скажем, 10%.

См. Также: « Квантовый биткойн: анонимная и распределенная валюта , защищенная теоремой квантовой механики об отсутствии клонирования », Джонатан Йогенфорс, 5 апреля 2016 года, где он обсуждает схему Виснера и предлагает свою собственную.