Есть ли объяснение непрофессионала, почему работает алгоритм Гровера?

Этот пост от Скотта Ааронсона - очень полезное и простое объяснение алгоритма Шора .

Мне интересно, есть ли такое объяснение для второго наиболее известного квантового алгоритма: алгоритм Гровера для поиска в неупорядоченной базе данных размера в O ( $O(n)$время$O(\sqrt{n})$

В частности, я хотел бы видеть некоторую понятную интуицию для первоначально удивительного результата времени выполнения!

Существует хорошее объяснение Крейг Gidney здесь (он также имеет другое большое содержание, в том числе схемы симулятора, на своем блоге ).

По сути, алгоритм Гровера применяется, когда у вас есть функция, которая возвращает Trueодин из возможных входов и Falseвсе остальные. Задача алгоритма - найти тот, который возвращает True.

Для этого мы выражаем входные данные как битовые строки и кодируем их, используя $|0\rangle$ и $|1\rangle$ состояния строки кубитов. Таким образом, битовая строка 0011будет закодирована в четырехбитном состоянии $|0011\rangle$ , например.

Нам также нужно уметь реализовать функцию с помощью квантовых вентилей. В частности, нам нужно найти последовательность вентилей, которая будет реализовывать унитарный $U$ такой, что

$U | a \rangle = - | a \rangle, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, U | b \rangle = | b \rangle$

$a$True$b$False

$\frac{1}{\sqrt{2^n}}$$n$$U$$-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$

$D$

$b_j$

$D: \,\,\,\, \sum_j \alpha_j \, | b_j \rangle \,\,\,\,\,\, \mapsto \,\,\,\,\,\, \sum_j (2\mu \, - \, \alpha_j) \, | b_j \rangle$

$\mu = \sum_j \alpha_j$$\mu + \delta$$\mu - \delta$

$-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$

$\frac{1}{\sqrt{2^n}}$

Конечно, все это говорит о том, что вся работа выполняется оператором диффузии. Поиск - это просто приложение, к которому мы можем подключиться.

См. Ответы на другие вопросы для получения подробной информации о том, как реализованы функции и оператор диффузии .

Я нахожу графический подход вполне подходящим для того, чтобы дать некоторое представление, не становясь слишком техническим. Нам нужны некоторые входные данные:

• $|\psi\rangle$$|x\rangle$$\langle x|\psi\rangle\neq 0$
• $U_1=-(\mathbb{I}-2|\psi\rangle\langle\psi|)$
• $U_2=\mathbb{I}-2|x\rangle\langle x|$

$|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$и они возвращают состояние в промежутке. Более того, оба являются унитарными, поэтому длина входного вектора сохраняется.

$|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$

$|\psi\rangle$$|x\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$\theta$

$U_1$$|\psi\rangle$$U_2$$|\psi^\perp\rangle$

$U_2$$U_1$$2\theta$$|x\rangle$

$|\psi\rangle$$\theta$$|x\rangle$$x$

$|x\rangle$$|\psi\rangle$$p\ll 1$$O(1/p)$$\sqrt{p}=\sin\theta\approx\theta$$\theta$$r$$\sin((2r+1)\theta)\approx 1$$r\approx \frac{\pi}{2\theta}\approx \frac{\pi}{2\sqrt{p}}$

$1/\sqrt{N}$$\sqrt{N}$$1$