Являются ли первые три значения, которые описывают трехмерную плоскость, фактически трехмерным вектором?

13

3D-плоскость обычно определяется как a,b,c,d. Являются ли на a,b,cсамом деле x,y,zкоординаты трехмерного вектора с dопределением вращения плоскости чем-то вроде данных вращения оси-угла?

Robinicks
источник

Ответы:

22

Представление плоскости с четырьмя переменными - это коэффициенты в равенстве

ax + by + cz = d

Это можно увидеть как N = ( a , b , c ) как вектор нормалей, а d как расстояние от начала координат (в единицах длины- N ), и мы также можем записать это уравнение как N · P = d , где P = ( x , y , z ).

Это представление не позволяет определить конкретное «происхождение плоскости» - математические плоскости не имеют происхождения. (Однако бывает, что, поскольку N · P = d, мы можем установить P = ( d | N | -2 ) N и получить конкретную точку на плоскости: точку, ближайшую к началу координат системы координат .)

Если вы измените = на <или>, вы опишите «полупространство», которое можно использовать для таких вещей, как бесконечный пол в физическом движке; противоположное полупространство получается отрицанием как N, так и d .

Кевин Рид
источник
Хороший ответ. Только одно исправление: d больше похоже на квадратное расстояние (если (a, b, c) не имеет длины 1, что часто имеет место, но не гарантируется).
Сэм Хоцевар
@ Самхочевар в квадрате? Это все линейно. Я думаю , что вы думаете о том , что я выразился так , что d в единицах N .
Кевин Рейд
о, тогда все в порядке, извините!
Сэм Хоцевар
3

«Обычно» - это довольно субъективное слово, по моему опыту, есть разные способы описания плоскости в трехмерном пространстве, которые более распространены из-за свойств, которые демонстрируют такие конструкции.

По поводу вашего вопроса, здесь есть возможность использовать 4 реальных значения для определения плоскости в трехмерном пространстве. Как вы указали, a, b, c могут быть компонентами вектора, перпендикулярного нужной плоскости. Если N = (a, b, c) - наш перпендикулярный вектор, вы можете найти точку на вашей плоскости, которая является P = d N для некоторого d реального и положительного. Здесь вы говорите, что d - это расстояние от начала координат в терминах N ; если N - единичный вектор, то d - это расстояние между исходной точкой и вашей плоскостью в том смысле, в котором обычно используется термин «расстояние» .

Удивительно, но вы можете определить любую возможную ориентированную плоскость, потому что вы можете использовать отрицательные значения d ; тем самым вы теряете прямое значение d как расстояния, пока не установите абсолютное значение ( | d | ).

FXIII
источник
2
«Обычно» - это субъективное слово. «Типично» - это не какое-либо слово. (Извините за придирки, но я не смог устоять, так как вы даже пошли и подчеркнули это.)
Илмари Каронен
0

Насколько я знаю, плоскость обычно определяется позицией, которая указывает нам, где находится источник, и нормалью, указывающей вверх от плоскости, чтобы сказать нам, в какой ориентации мы имеем. Обычно для этого используют два вектора.

С четырьмя переменными у вас недостаточно переменных, чтобы определить плоскость, у которой нет начала координат (0,0,0) или недостаточно переменных для учета всех поворотов.

Минимум, который нам понадобится для плоскости в трехмерном евклидовом пространстве с началом координат, который не находится в точке (0,0,0) и может быть ориентирован так, как нам нужно, составляет 5. Представьте себе единичную сферу, нам нужно 3 переменные, чтобы определить, где находится источник единичной сферы является (X, Y, Z). Затем нам нужны две переменные, чтобы определить, где находится «вверх» плоскости. Мы можем сделать это, используя описанный вектор, перейдя от начала сферы к ее поверхности, учитывая широту и долготу.

Как вы будете реконструировать самолет только с четырьмя переменными, я не знаю. Может быть, вы работаете в узкой области (плоскость всегда в (0,0,0) и четыре переменные являются кватернионами?) Или переменные не являются скалярами? В каком контексте вы используете это a, b, c, d?

Рой Т.
источник
Плоскость обычно определяется как нормаль / расстояние или четыре скаляра (что в основном одно и то же). Точки нет, потому что четвертый скаляр (расстояние от начала координат) равен точке (точка, нормаль), что также является наиболее распространенным способом взаимодействия с плоскостями (проверка, на какой стороне находится точка / насколько она удалена от плоскости) и, следовательно, должен быть наиболее оптимальным (никто не хочет пересчитывать расстояние в каждом тесте).
snake5
Я понятия не имел! Я до сих пор не понимаю, как вы получите все ориентации в этом случае. Не могли бы вы расширить свой комментарий до ответа, который принесет пользу всем нам :). Ой, не видел ответа FXIII
Рой Т.