Вывод для оценки собственной частоты моста в еврокодах

13

Еврокоды дают следующее уравнение для оценки «просто поддерживаемого моста, подверженного только изгибу» *:

N0знак равно17,75δ0

где

  • N0 - собственная частотав герцах
  • δ0 - прогиб в середине пролета при постоянных воздействияхв мм

Уравнение явно взято из воздуха, и нет объяснения, откуда взялась постоянная 17,75. Как инженер, я не хочу использовать формулу, которую я не понимаю, но более того, было бы полезно изучить основополагающие принципы, чтобы понять, можно ли изменить ее для работы с другими условиями поддержки.

Может ли кто-нибудь обеспечить происхождение / фундаментальное происхождение этих отношений?

* Полная ссылка: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Примечание 8] (уравнение 6.3), если это помогает.

thomasmichaelwallace
источник
1
Это правильный PDF, верно?
HDE 226868
Да, я не знал, что вы можете получить Еврокоды бесплатно!
thomasmichaelwallace

Ответы:

9

Если мы упростим весь мост до двухмерного тонкого луча с постоянным размером сечения, без внутреннего демпфирования и только небольших вертикальных отклонений, то собственная частота определяется простым гармоническим движением:

n0=12πkm

Где - собственная частота, k - отношение восстановительной силы и прогиба (эквивалентная «жесткость пружины»), а m - масса на единицу длины балки.n0km

В балке восстановительной силой является внутренний сдвиг, вызванный отклоненной формой. Поскольку сила, проявляемая лучом, пропорциональна скорости изменения сдвига, которая связана с жесткостью ( ) и скоростью изменения момента, это может быть показано (примечание: отклонение пропорционально длине луч) что:EI

k=αEIL4

Где - модуль Юнга материала пучка, I - второй момент инерции сечения пучка, L - длина пучка, а α - постоянная, определяемая условиями поддержки и номером моды отклика.EILα

Вся литература, которую я видел, выражает это более удобным для уравнения частоты способом:

Кзнак равно(КL2)2(Ея)

Подставляя обратно,

N0знак равноК2πL2Еям

Расчет значения довольно сложен, и существует точный подход для простых решений и приближенных методов, включая метод свободной энергии и Роли Ритца. Здесь можно найти несколько отклонений для просто поддерживаемого луча .К

Следует отметить, что этого уравнения было бы достаточно, но поскольку для него требуется таблица для и вычисление значения E I , представляющего мост в виде однородного луча, авторы Еврокода, похоже, решили, что это будет лучше повторно интегрировать предположение, что k является постоянным вдоль луча.КЕяК

Для этого они использовали следующие отношения:

δ0знак равноСвесL4Ея

Где - максимальный прогиб, C - постоянная, определяемая условиями опоры, w - постоянная равномерно распределенная нагрузка по длине балки.δ0Свес

Под собственным весом , где g - ускорение под действием силы тяжести (9810 мм / с 2 ; отклонение в этом уравнении дано в мм ).весзнак равнограмммграмм

Поэтому (переставил :)

Еямзнак равноL29810Сδ0

И так:

N0знак равно15,764КСδ0

Общие значения и C можно найти в структурных таблицах - например, здесь и здесь , соответственно.КС

Для просто поддерживаемого луча:

15,764K

Кзнак равноπ2 и Сзнак равно5384
n0= 17,75
15,764КСзнак равно17,75
N0знак равно17,75δ
thomasmichaelwallace
источник
Вот и мы. :-)
HDE 226868
2

Вот возможный ответ.

Я нашел этот документ (не уверен в точном источнике), который содержит связанный вывод:

В простой задаче гармонического движения гдеk- упругая жесткость, аm- масса, подвергающаяся вибрации.

N0знак равно12πКм
Км

, гдеFесть сила иδпрогиб. Таким образом, n0=1

Кзнак равнонагрузкаотклонениезнак равноFδ
Fδ
N0знак равно12πFмδзнак равно12πмaмδзнак равно12πaδ
N0знак равно5,03aδ
aзнак равно12,4382
HDE 226868
источник
0

Более подробная информация об этом содержится в книге Ладислава Фрыбы «Динамика железнодорожных мостов» (1996). Если вы прочитаете главу 4, вы увидите формулу 4.53 на странице 92:

е1знак равно17,753vsT-1/2

е1vsT

Это уравнение следует из формулы для отклонения в середине пролета несущей балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, мкг

vsTзнак равно5384μграммL4Ея

который подставляется в

еJзнак равноλJ4L4(Еяμ)1/2

λ1знак равноπ

Подставляя эти уравнения друг в друга, используя g = 9,81 м / с ^ 2, получаем

е1знак равноπ2(5384грамм)1/2vsT-1/2

Численная оценка этого уравнения дает желаемое уравнение.

BenjaminKomen
источник
Объясняет ли книга происхождение уравнения? Это вопрос ОП. И если это так, не могли бы вы объяснить это происхождение?
Васаби
Я добавил объяснение, данное в книге. Должно ли это быть объяснено более подробно или более просто?
БенджаминКомен
-2

Динамики для таких инженеров, как я, обычно занимающихся статикой, могут быть чреваты легкими ошибками и недоразумениями. Эта формула очень полезна для балок с простой опорой, поскольку она может быть быстро связана с приложенными собственными весовыми нагрузками и долей живой нагрузки (обычно 10%) без необходимости усложнения.

Консоли также могут использовать аналогичную постоянную (19,8 с UDL, 15,8 с нагрузкой на конечную точку). Все это ломается непрерывными балками и рамами.

Я строю естественную проверку частоты со всеми конструкциями луча, чтобы отслеживать ее. Например, для деревянных конструкций 8 Гц является целью, а для бетонных полов / стальных рам 4-6 Гц - в качестве первого прохода.

Есть также грубые и готовые методы для оценки динамических реакций вокруг. Я должен сказать, что динамика все еще ускользает и смущает меня и всегда будет! Поэтому я остаюсь максимально простым.

Хью Моррисон
источник
Это на самом деле не решает основной вопрос ФП - как получена формулировка и каково ее фундаментальное происхождение?
grfrazee