У меня есть функция:
Я обнаружил, что его функция дополнения:
Я должен показать, что: но я не вижу, как это сделать.
Кажется, что просто нет ничего, что могло бы уничтожить друг друга.
редактировать
Как и предполагалось, я теперь использовал теорему Деморгана и нашел это:
Но мне все еще кажется, что нет ничего, что приближает меня к пониманию
boolean-algebra
деревенщина
источник
источник
Ответы:
Так как Карл спросил мило. Начальная точка:е( х , у, z, ш ) = ш х + уZ
и
е' (х,у, z, w ) = w ' y' +w ' z' +х ' у' +x ' z'
Выполните следующие шаги се' :
f'(x,y,z,w)=w'(y'+z')+x'(y'+z')
е' (х,у, z,w)=(w'+x′)(y'+z')
DeMorgan:
f'(x,y,z,w)=(wx)'(yz)′
DeMorgan, опять же:
f'(x,y,z,w)=(wx+yz)′
Итак, теперь правая частьf′ - это просто простое отрицание правой частиf , Это немного антиклиматично, так как теперь мы просто полагаемся на тот факт, что любое выражение x+x′=1 , о чем люди все время говорили о f+f′=1 , но, по крайней мере, оно дает немного Объяснение булевой алгебры, почему это так.
источник
Дело в том, что на самом деле не имеет значения, что на самом деле представляет функцияf() . Ключевым фактом является то, что его вывод представляет собой одно двоичное значение.
Это фундаментальный факт в булевой алгебре, что дополнение двоичного значения истинно всякий раз, когда само значение ложно. Это известно как закон исключенного среднего . Таким образом, ORing значения с его дополнением всегда истинно, а ANDing значения с его дополнением всегда ложно.
Приятно, что вы смогли получить конкретную функциюf′() , но это на самом деле не имеет отношения к конкретному вопросу!
источник
Все предыдущие ответы верны и очень глубоки. Но более простой способ достичь этого - помнить, что в булевой алгебре все значения должны быть либо 0, либо 1.
Итак ... либо F равно 1, тогда F 'равно 0, либо наоборот: F равно 0 и F' равно 1. Если вы затем примените логическую OR-функцию: F + F ', у вас всегда будет одна обоих слагаемых 1, поэтому результат всегда будет 1.
источник
Мой ответ похож на ответ Дэйва Твида, и это означает, что я перевел его на более официальный уровень. Я, очевидно, ответил позже, но я все же решил опубликовать его, так как кто-то может найти этот подход интересным.
Отношение, которое вы пытаетесь доказать, не зависит от структуры функцииf поскольку фактически является тавтологией . Чтобы объяснить, что я имею в виду, я предлагаю демонстрацию общего правильно сформированного булева выражения P в произвольном числе булевых переменных, скажем, n∈N , y1,…,yn , где yi∈{0,1} для всех i=1,…,n . P(y1,…,yn)∈{0,1} и рассмотрим два следующих набора булевых значений дляn мерного булева вектора(y1,…,yn)
YY¯={(y1,…,yn)∈{0,1}n|P(y1,…,yn)=1}={(y1,…,yn)∈{0,1}n|P(y1,…,yn)=0} Y∪Y¯={0,1}n Y∩Y¯=∅ P(y1,…,yn)P′(y1,…,yn)={01if (y1,…,yn)∈Y¯if (y1,…,yn)∈Y⇕={10if (y1,…,yn)∈Y¯if (y1,…,yn)∈Y
therefore we always have
P+P′=1∀(y1,…,yn)∈{0,1}n
У нас есть что
источник
All good answers that provide the necessary justification in one way or the other. Since it is a tautology, it's hard to create a proof that doesn't just result in "it is what it is!". Perhaps this method help tackle it from yet another, broader angle:
Expand both statements to include their redundant cases, and the remove the repeated cases:
and
I've kept the terms in consistent order to make the derivation more obvious, but they could be written alphabetically to be clearer. In any case, the point is thatf ORs seven 4-bit cases, and f′ ORs nine, distinct 4-bit cases. Together they OR all sixteen 4-bit cases, so reduce to 1 .
источник
F + F' = 1 means that you have to show that no matter the state of the 4 inputs, OR'ing the result of those 2 always result in 1,
A few minutes in excel shows it is indeed the case. You can use "NOT()" to invert between 0 and 1 in excel.
F = W * X + Y * Z
F' = W' * Y' + W' * Z' + X' * Y' + X' * Z'
As to why this is the case, If you want F to be false, e.g. setting W and Y low, you just made F' true. If you make X and Z low, you also made F" true, same for swapping there pairs.
источник
By simple definition of+ (OR) and ' (NOT)
источник