Почему в пассивной цепи с синусоидальным входом все напряжения и токи имеют то же синусоидальное поведение, что и вход?

Мне известно, что в любой цепи, состоящей из линейных пассивных элементов и синусоидального входа, все напряжения и токи, проходящие через и через любой элемент, будут демонстрировать то же синусоидальное поведение и частоту, что и вход; Вот как на самом деле работают пассивные фильтры. Но я не могу понять или найти конкретное / прямое доказательство того, почему это происходит, если не просто наблюдение.

Я выкладываю себе мозги и в итоге нашел хороший математический подход, чтобы доказать это, и решил ответить на свой вопрос. В такой схеме решение для любого напряжения / тока через / через любой компонент (я назову это ) всегда приведет вас к построению дифференциального уравнения, которое всегда линейно, с постоянными коэффициентами (из-за линейных свойств пассивных компонентов) и неоднородный (из-за синусоидального ввода). Такое дифференциальное уравнение всегда будет иметь следующий вид: a d n$f$гдеa. , , k- это константы (комбинации индуктивности, сопротивления и т. д.),n- порядок дифференциального уравнения (который отражает количество элементов накопления энергии в цепи), аCsin(ωt+θ)- обобщенная синусоидальная функция это описывает вход. Общее решение этого дифференциального уравнения всегда будет иметь вид:f=

Это верно только для цепей LTI (линейно-инвариантного времени). Если у вас есть неидеальный компонент (и все они в той или иной степени), вы увидите гармоники входной частоты на выходе. Индукторы имеют тенденцию быть худшими из всего, но все пассивные части имеют такое поведение. Например, конденсаторы могут демонстрировать сильный коэффициент напряжения и не являются постоянными во времени из-за диэлектрического поглощения.

Чтобы получить прямое (предполагая, что математическое знание примерно на 2-м курсе университета) математическое доказательство, вы можете прочитать эти заметки по курсу Беркли (EECS20N: Сигналы и системы). Вы можете скачать весь текст здесь .

Это происходит потому, что синусоида - это всего лишь одна линия в частотном спектре, и независимо от того, что вы делаете с ней, используя линейный фильтр или усилитель, все, что происходит, - это сдвиг фазы или амплитуды.

Если бы это была прямоугольная волна (бесконечные гармоники), то применение фильтра ослабило бы или усилило некоторые частоты больше, чем другие, и прямоугольная волна потеряла бы свою узнаваемую квадратную форму.

Квадратные волновые гармоники: -

Gif источник

Основная причина заключается в том, что составляющие уравнения идеальных компонент R, L и C являются линейными, инвариантными по времени уравнениями, включающими только производные и интегралы (обе линейные операции), и что синус и косинус изменяются на другие синусы и косинусы при воздействии на такие линейные операторы.

Производная и интеграл синусоидальной функции - это другая синусоидальная функция той же частоты (она может изменяться только по амплитуде и фазе). KCL и KVL могут привести только к алгебраическим суммам таких синусоидальных функций, и эта операция может производить только другую синусоидальную функцию. Итак, в конце концов, когда вы подключите R, L и C в сеть, синусоидальный вход всегда будет приводить к синусоидальному выходу.

Смотрите мой другой ответ здесь .

Все это является прямым следствием автомодельности экспоненциальной функции (связанной с синусами и косинусами по уравнению Эйлера). Возможно, вы захотите прочитать первую главу в Giorgi, Физика волн, чтобы получить полное объяснение этого.

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$Это сложный скаляр, несущий информацию о затухании и сдвиге фаз), называемый характеристическими, или собственными, или собственными решениями систем. Их можно использовать для построения ортогонального базиса с тем свойством, что любая другая (с хорошим поведением) функция может быть разложена как обобщенная сумма таких элементарных кирпичей - и это приведет вас прямо к территории ряда Фурье, но это уже другая история).

Краткое объяснение дается в первом ответе на этот вопрос по математике SE: почему мы используем функции триггера в преобразованиях Фурье, а не другие периодические функции?

$e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

Это верно только при ограничении пассивных элементов R, L, C и, возможно, кристаллами, которые управляются должным образом - и даже тогда есть два исключения, см. Ниже. Преднамеренные и непреднамеренные диоды, варисторы, термисторы с тепловой массой и другие нелинейные элементы могут быстро вносить искажения в чисто синусоидальные входы. Перегруженные кристаллы или керамические фильтры также могут вести себя довольно нелинейно. Если в пассивную категорию включить двухконтактные элементы с отрицательным сопротивлением (газоразрядные трубки, туннельные диоды), существует еще больше возможностей.

Исключения:

Части реального мира, как правило, имеют недостатки, которые заставляют их вести себя как некоторые нелинейные элементы. Резисторы могут иметь «термистор с тепловой массой» и даже «варистор». Конденсаторы могут иметь зависимость напряжения от их величины из-за пьезоэлектрических эффектов, электрических полей, создающих механическую силу, химических эффектов (в электролитике). Кроме того, некоторые электретоподобные эффекты, похоже, документированы для конденсаторов. Соединения металл-металл могут развить диодоподобное поведение. Индукторы могут стать нелинейными из-за насыщения сердечника, взаимодействия магнитного поля с близлежащими металлическими предметами и т. Д.

Все резистивные компоненты, несущие ток, демонстрируют некоторые характеристики генерации шума, нижние пределы которых определяются жесткой физикой.

Имейте в виду, что все реальные, казалось бы, несинусоидальные, повторяющиеся сигналы могут быть прекрасно описаны как сумма синусоидальных волн различной частоты и фазы.

Если вы ищете связь с природой, вы будете ходить по кругу: синусоиды являются основным ингредиентом в создании кругов, овалов и круглых вещей, согласно математическим гикам (если вы хотите нарисовать круг на компьютере, вы обычно будете использовать синус) / косинус функции или использовать теорему Пифагора непосредственно каким-то образом ...). Природа делает много круглых вещей (волосы, стебли растений, вишни, вишневые пятна, торнадо и т. Д.) И поддерживает достаточное количество синусоидальных волн для этой цели.

«Схема» обычно считается сетью компонентов с портом «вход» и «выход». С помощью теории сетей, такой как закон Ома, вы можете получить уравнение, «передаточную функцию», которое описывает выходные данные в терминах входных данных. С «линейными» компонентами вы всегда найдете «линейную» передаточную функцию.

Давайте опишем некоторые линейные компоненты с такими функциями, как output = F(input), output2 = G(input2)и т. Д. Затем комбинация таких компонентов приводит к комбинированной функции, как output2 = G(F(input1)). Поскольку обе функции линейны, то есть имеют форму y = a * x + b, то эти комбинации также линейны.

При подаче синусоидального входного сигнала в линейную сеть выходной сигнал может быть усилен с коэффициентом a и сдвинут на напряжение b. С помощью сложных математических или дифференциальных уравнений вы можете даже получить «сдвиг фазы», ​​но не другую частоту, потому что производная синуса имеет ту же частоту.

Вы хотите, чтобы это было еще более формальным?

Либо ваша предпосылка неверна, либо вы не правильно сформулировали граничные условия.

Рассмотрим простое пассивное устройство, такое как диод. Он будет демонстрировать нелинейную передаточную характеристику, приводящую к несинусоидальному выходу для данного

Также рассмотрим идеальный резонансный (LC) контур с передаточной функцией, обеспечивающей нулевой выходной сигнал, то есть несинусоидальный.

Собственные функции линейных инвариантных по времени систем (а пассивные сети, как правило, относятся к этому виду) являются сложными экспонентами, а их действительные суперпозиции - это синоиды произвольной фазы.

Собственная функция - это функция, которая будет изменяться только постоянным (в данном случае комплексным) фактором при прохождении через систему. Линейные системы - это те, в которых выходные данные, соответствующие сумме нескольких входных данных, соответствуют сумме выходных данных отдельных входных данных, поэтому вы всегда можете проанализировать их, выразив их входные данные в виде удобной суммы. Если эта сумма может быть суммой, выраженной в основе ортогональных собственных функций, все становится намного проще.

Привет анализ Фурье.