Почему при расчете средней мощности используется среднеквадратичное значение, а не просто среднее значение напряжения / тока?

$$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$$ где$I_{\text{eff}}$ - эффективный ток. Чтобы мощность была средней,$I$ должен быть средним током, поэтому я предполагаю, что эффективный ток - это средний ток.

В таком случае, почему $I_{\text{eff}}$ не просто

$$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$$

Вместо этого это определяется так:

$$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$$

Таким образом, используя эти два выражения для расчета $P$ результатов в разных ответах.

Почему это так? Это не имеет никакого смысла для меня. Я могу только догадываться, что я неверно истолковываю эффективный ток как средний ток. Однако, если это не так, я не вижу, как $P$ может быть средней мощностью, когда $I_{\text{eff}}$ не является средним током.

Возьмите простой пример, где суммы тривиальны. У меня есть напряжение, которое включено в 50% случаев и выключено в 50% случаев. Это 10 В, когда он включен. Таким образом, среднее напряжение составляет 5 В. Если я подключу к нему резистор сопротивлением 1 Ом, он будет рассеивать 100 Вт, когда он включен, и 0 Вт, когда он выключен. Средняя мощность, таким образом, составляет 50 Вт.

Теперь оставьте напряжение на все время, но сделайте его 5В. Среднее напряжение по-прежнему составляет 5 В, но средняя мощность составляет всего 25 Вт. К сожалению.

Или предположим, что у меня есть напряжение только в 10% случаев, но оно составляет 50В. Среднее напряжение снова составляет 5 В, но мощность составляет 2500 Вт при включении и 0 Вт при выключении, поэтому в среднем 250 Вт.

---

В действительности, чтобы рассчитать мощность в целом, вы должны интегрировать (мгновенное напряжение) * (мгновенный ток) за период сигнала, чтобы получить среднее значение (или от 0 до некоторого времени t, как в вашем примере, чтобы найти мощность за некоторый интервал) ,

Если (и это большое значение, если) нагрузка является фиксированным резистором R, вы можете сказать, что v = i * R, поэтому мгновенная мощность равна i ^ 2 * R, и поэтому вы можете интегрировать i ^ 2 за период, чтобы получить " RMS current ", и умножьте на R позже (поскольку он фиксирован, он не входит в интеграл).

---

Среднеквадратичное значение тока не особенно полезно, если нагрузка является чем-то нелинейным, как диод. Это может быть полезно при анализе потерь в чем-то вроде конденсатора с заданным СОЭ. Потери (и возникающий эффект нагрева, который сокращает срок службы конденсатора) будут пропорциональны среднеквадратичному току, а не среднему.

Чтобы мощность была средней, я должен быть средним током, поэтому я предполагаю, что эффективный ток - это средний ток.

Короче говоря, среднее напряжение х средний ток равен только средней мощности, когда напряжение и ток являются величинами постоянного тока. Подумайте о следующем примере:

Если вы подали 230 В переменного тока от электрической розетки к нагревательному элементу, он нагревается или даже нагревается. Это захват власти, за которую можно выставить счет. 230 В переменного тока - это синусоида, и все синусоиды имеют среднее значение ноль. Результирующий ток, протекающий через нагревательный элемент, также представляет собой синусоидальную волну со средним значением, равным нулю.

Таким образом, использование среднего напряжения х среднего тока дает нулевую среднюю мощность, и это явно не так. Это среднеквадратичное напряжение х среднеквадратичный ток, который даст значимый ответ (независимо от того, постоянный или переменный ток).

Вы должны вернуться к основам и спросить себя, что такое мощность - это напряжение х ток, и это мгновенные значения, умноженные вместе. Это приводит к такой форме волны мощности:

Из-за акта умножения форма волны мощности теперь имеет среднее значение, которое не равно нулю . Если продвинуться дальше, если нагрузочный резистор составлял 1 Ом, амплитуда тока будет равна амплитуде приложенного напряжения, поэтому мощность станет средним значением .$v^2$

Это заставляет нас сказать, что мощность the mean of the square of voltage(или ток) и, учитывая, что мы выбрали 1 Ом в этом примере, мы также можем сказать, что эффективное напряжение, которое производит эту мощность, является значением square root of the mean of the voltage squaredили среднеквадратичным значением.

Таким образом, для синусоидальной волны максимальной амплитуды вершина волны мощности равна v 2 p k, и, поскольку волна мощности, создаваемая квадратом синусоиды, также является синусоидой (с удвоенной частотой), среднее значение (среднее) значение:$v_{pk}$$v^2_{pk}$

. Затем, взяв квадратный корень, чтобы получитьэффективноенапряжение, мы получаем$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$ илиvp$\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$$\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

В действительности, среднеквадратическое значение переменного напряжения (или тока) является эквивалентным значением постоянного напряжения (или тока), которое создает такой же эффект нагрева в резистивной нагрузке.

Так что нет, среднее напряжение или средний ток не имеет значения, но средняя мощность важна.

Дьявол кроется в деталях, когда вы работаете над математикой.

$P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

$$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$$

$$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$$ $$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$$ $$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$$

$$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$$

$\frac{1}{T}$

В целом, это потому, что математика не работает таким образом.

Средняя мощность - это просто интеграл работы за некоторый конечный период времени, деленный на этот период времени. Для вашего случая каждый момент работы - это:

$$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Итак, вы интегрируете это, чтобы получить общую работу за некоторый конечный период, а затем, чтобы преобразовать это в среднее значение мощности, вы просто делите ее на конечный период. Или:

$$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

$R_t$

$$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

$R\cdot I_{eff}^2$

$$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$$

Это просто эквивалентная замена, верно?

И тогда очевидно:

$$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$$

$t_0=0$$t_1=t$

Представьте, что через вашу нагрузку одновременно протекают два тока:

• Постоянный ток 1А
• Переменный ток с амплитудой 1А

Общий ток будет выглядеть примерно так:

$I_{eff}$

$R=1\Omega$

$$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$$

Давайте перепишем это:

$$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$$

С другой стороны, средний ток составляет 5,5 А, что дает «среднюю мощность» 30,25 Вт.

Дело в том, что формула мощности содержит квадрат тока, поэтому эффективный ток выше, чем просто среднее значение (абсолютное значение) тока.

Позвольте мне выразить это в более общих терминах: мгновенная мощность P (t), рассеиваемая над нагрузкой, является произведением (в математическом смысле как умножение) величин V (t) и I (t). Или я (т) * я (т) / R в этом отношении. Следовательно, средняя мощность - это среднее значение [I (t) * I (t)] / R. Парадокс в известной математической теореме, что среднее произведение произведения переменных функций не равно произведению их средних значений ,

[(V (t) I (t)]! = [V (t)] * [I (t)];

что то же самое,

[I (t) ^ 2]! = [I (t)] * [I (t)]

Чтобы проиллюстрировать эту базовую проблему исчисления до некоторой степени, предположим, что нагрузка резистора составляет 1 Ом, а напряжение пульсирует как 10 В для рабочего цикла 10%, повышения на 10%, отсутствия напряжения на 90%. Реальная рассеиваемая мощность составляет 10 В * 10 А = 100 Вт для 10% рабочего цикла и ноль для оставшегося рабочего цикла. Таким образом, средняя мощность, рассеиваемая этим резистором, составляет 10 Вт .

Теперь, если вы берете (или даже измеряете!) Средние значения отдельно, используя отдельные измерители, среднее значение [V] этой импульсной формы волны будет равно 1 В, а среднее значение I будет равно 1 А. Умножая результаты измерений, можно прийти к выводу, что мощность, потребляемая этим «устройством», составляет всего 1 Вт, что будет в 10 раз неверно !

Это типичная ошибка во многих дисциплинах и приложениях. Например, эта ошибка лежит в основе многих поддельных утверждений о некоторых магических водонагревателях, которые производят больше энергии, чем «потребляемое электричество», обычно объясняемое «холодным синтезом», или некоторыми другими БС. Есть даже патенты на эти "импульсные нагреватели".