Когда это требуется или разрешено для отбора проб ниже уровня Найквиста

Я искал прошлые вопросы и ответы на этой платформе, но никто не отвечает на этот вопрос. Профессор сказал, что при определенных условиях можно проводить выборку ниже нормы Найквиста. Я хотел бы знать, во-первых, возможно ли это сделать, если да, то когда?

Прежде всего, давайте избавимся от заблуждения Найквиста.

Людей обычно учат, что минимальная частота дискретизации должна быть в два раза больше частоты самой высокой частоты сигнала. Это совершенно неверно!

Что верно, так это то, что если у вас есть «полный» спектр, и под полным я имею в виду, что он полностью использует все частоты между нижним краем своей полосы пропускания и верхним краем своей полосы пропускания, то вам нужно иметь частоту дискретизации это как минимум вдвое больше ширины полосы сигнала.

Таким образом, на рисунке здесь частота дискретизации должна быть не менее 2 * (Fh-Fl), чтобы получить спектр.

Вам также необходимо помнить, что после выполнения выборки вся информация о фактической частоте теряется в дискретизированном сигнале. Это где вся история о частоте Найквиста вступает в игру. Если частота дискретизации в два раза превышает максимальную частоту сигнала, то мы можем с уверенностью предположить (как нас часто учат делать подсознательно), что все частоты в дискретизированном сигнале находятся между нулем и половиной частоты дискретизации.
В действительности спектр дискретизированного сигнала является периодическим около Fs / 2, и мы можем использовать эту периодичность для достижения более низких частот дискретизации.
Посмотрите на следующую картинку:
Область между 0 и Fs / 2 является так называемой первой зоной Найквиста. Это та область, где мы делаем «традиционную» выборку. Далее взгляните на область между Fs / 2 и Fs. Это вторая зона Найквиста. Если у нас есть какие-либо сигналы в этой области, их спектр будет дискретизирован, а его спектр будет перевернут, то есть высокие и низкие частоты будут инвертированы. Далее мы имеем третью зону Найквиста, между Fs и 3Fs / 2. Сигналы здесь при выборке будут выглядеть так, как будто они пришли из первой зоны, и их спектр будет нормальным. То же самое относится ко всем остальным зонам, с правилом, согласно которому спектр зон с нечетными номерами является нормальным, а спектр зон с четными номерами инвертируется.

Теперь это идет вразрез с «традиционными» правилами псевдонимов, так как псевдонимы обычно преподаются как некий злой монстр, пришедший пожрать ваши сигналы, и что вы должны использовать фильтры сглаживания нижних частот, чтобы избавиться от него. В реальной жизни все не так. Фильтры сглаживания не могут на самом деле предотвратить алиасинг, они просто снижают его до уровня, где это уже не имеет значения.
Вместо этого мы действительно хотим устранить любые сильные сигналы из зон Найквиста, которые не представляют интереса, и пропустить сигналы из зоны Найквиста, которые представляют для нас интерес. Если мы находимся в первой зоне, тогда фильтр нижних частот - это хорошо, но для всех остальных зон нам нужен полосовой фильтр, который позволит нам получать полезные сигналы из этой зоны и удалять ненужные ненужные нам сигналы. Не нужно, что идет из других зон.

Итак, давайте посмотрим на этот пример: здесь у нас есть сигнал в третьей зоне Найквиста, пропускаемый полосовым фильтром. Наш АЦП должен будет иметь только частоту дискретизации, равную удвоенной ширине полосы сигнала, чтобы восстановить его, но мы всегда должны помнить, что на самом деле это сигнал из третьей зоны, когда нам нужно вычислить частоты внутри нашего сигнал. Эту процедуру часто называют полосовой выборкой или недостаточной выборкой.

Теперь, после всего этого изложения, чтобы ответить на ваш вопрос, когда: нужно помнить одну вещь : хотя теоретически мы могли бы захватывать сигнал с помощью АЦП 40 МГц, нам потребуются очень четкие фильтры сглаживания, поэтому на практике мы не хотим запускать частоту дискретизации слишком близко к полосе пропускания. Еще одна вещь, которую также упускают из виду, это то, что схема реального АЦП ведет себя как фильтр сама по себе. Эффекты фильтрации АЦП необходимо учитывать при выполнении полосовой выборки. Довольно часто существуют специальные АЦП с полосой пропускания намного более широкой, чем частота дискретизации, которые специально разработаны с учетом частотной дискретизации.
Ну, давайте посмотрим на радио, возможно, что-то в микроволновом спектре, возможно, WiFi. Типичный канал Wi-Fi старого стиля может иметь полосу пропускания 20 МГц, но несущая частота будет около 2,4 ГГц. Поэтому, если мы примем наш наивный подход к прямой выборке сигнала, нам понадобится АЦП 5 ГГц, чтобы увидеть наш сигнал, даже если мы заинтересованы только в конкретном спектре 20 МГц. Аналого-цифровой преобразователь с частотой 5 ГГц очень сложный и дорогой, а также требует очень сложной и дорогой конструкции. С другой стороны, АЦП с частотой 40 МГц - это не так "волшебно", как АЦП с частотой 5 ГГц.

Наконец, есть другая сторона истории, также называемая сжатым восприятием. Я не эксперт в этом, и это то, что все еще немного ново, но основная идея заключается в том, что, если определенные предположения будут выполнены (например, что спектр невелик), мы можем производить выборку на частотах, даже ниже удвоенной полосы пропускания. сигнала.

Таким образом, многие люди, включая профессоров, не понимают, что такое ставка Найквиста:

Частота Найквиста - это частота дискретизации, которая необходима для выборки сигнала, чтобы не повредить его псевдонимами.

Это означает, что для реальных сигналов и реальной выборки частота дискретизации должна быть более чем в два раза больше ширины полосы аналогового сигнала.

Это означает, что с частотой дискретизации 6 кГц вы можете получить 100% представление любой полосы шириной 3 кГц.

Это не означает, что частота дискретизации должна быть в два раза выше самой высокой частоты сигнала. Если ваши 3 кГц, например, являются полосой между 9 кГц и 12 кГц, вы не нужно производить выборку при 2 · 12 кГц = 24 кГц; 6 кГц вполне достаточно для однозначного представления сигнала в цифровом виде. Вам все равно нужно знать, что ваши 3 кГц были сосредоточены в районе 10,5 кГц, если вы хотите позже связать его с другими сигналами, но обычно это не имеет значения.

Мы называем эту технику недостаточной выборкой , и она прекрасно работает, и это 100% стандартная техника со многими техническими приложениями. Все, что вам нужно, - это убедиться, что все, что видит ваш АЦП (аналого-цифровой преобразователь), ограничено полосой пропускания до половины его частоты дискретизации - это означает, что в вышеупомянутом примере вы должны быть уверены, что нет сигнала ниже 9 кГц и нет сигнал выше 12 кГц.

сложная основная полоса

Обратите внимание, что это верно только для действительной выборки. Если вы использовали такие вещи, как демодуляторы IQ (также известные как смесители с прямым преобразованием , квадратурные демодуляторы ), чтобы дать вам сложную эквивалентную полосу частот , вы получите два потока синхронных выборок. В этом случае коэффициент 2 уменьшается. Это очень важный аспект для радио, определяемого программным обеспечением .

многофазные структуры

Если вы находитесь в более поздних частях курса DSP, ваш профессор, возможно, намекал на тот факт, что вы можете реализовать такие вещи, как рациональные ресэмплеры, где вам, как правило, приходится увеличивать выборку с коэффициентом M, а затем фильтровать, чтобы стереть все изображения. (фильтр работает на входной скорости · M), затем фильтрует, чтобы избежать всех псевдонимов (фильтр работает на входной скорости · M) перед понижающей дискретизацией на N, с одним фильтром, который эффективно работает с 1 / N от входной скорости - что на самом деле -Nyquist выборки. Но это было бы в основном одним из основных моментов лекции по многофазным / многократным системам, и я сомневаюсь, что он изложил это в курсе для начинающих - это слишком запутанно.

Никогда. Но вам нужно убедиться, что вы точно понимаете, что такое «ставка Найквиста».

Найквист заявил, что вы можете восстановить сигнал до тех пор, пока он дискретизируется со скоростью, которая более чем в два раза превышает пропускную способность сигнала. Эта полоса пропускания может начинаться или не начинаться при постоянном токе, но многие источники по этой теме предполагают, что это всегда так, и что самая высокая частотная составляющая сигнала определяет частоту Найквиста.

Например, если у вас есть сигнал вещания AM на частоте 1 МГц, который ограничен полосой до ± 10 кГц, частота Найквиста для него составляет 2 × 20 кГц = 40 кГц, а не 2 × 1,01 МГц = 2,02 МГц.

Профессор сказал, что при определенных условиях можно проводить выборку ниже нормы Найквиста.

Если все, что вас интересует, это вычисление среднеквадратичного значения сигнала, то вы можете взять образец ниже nyquist: -

Синяя форма волны также является синусоидальной, имеющей то же значение RMS, что и оригинал. Чего следует избегать, так это:

Ровно две выборки берутся за каждый цикл, и невозможно узнать, был ли сигнал с псевдонимом на самом деле красной или зеленой волной.

Критерий Найквиста говорит вам, как часто вам нужно производить выборку, чтобы восстановить сигнал с ограниченной полосой. Однако никакие физические сигналы не ограничены по полосе, это просто идеализация. Другие схемы будут работать для выборки других идеализированных сигналов. Предоставляя вам априорную информацию о сигнале (о том, что он ограничен полосой), Найквист сообщает вам, как восстановить весь сигнал из нескольких выборок. Если я предоставлю вам другую априорную информацию, вы сможете добиться большего успеха, чем nyquist. Вот пример: мои идеализированные сигналы являются кусочно-линейными. Нужно только сэмплировать эти сигналы в их точках перегиба: гораздо меньше сэмплов, чем нужно для сигналов с ограниченной полосой. Чтобы восстановить весь сигнал, нарисуйте прямые линии между точками выборки. Вы можете назвать это критерием "Linequist". :)

Периодический сигнал может быть выбран с использованием частоты дискретизации суб-Найквиста. Это хорошо используется в осциллографах. Там один образец сохраняется для каждого повторения сигнала, но в другой позиции периода. Нужно 512 образцов? тогда нужно 512 полных процентов сигнала.

Точность:

Легко видеть, что таким образом можно захватить стационарную синусоиду. Но эти 512 сэмплов должны покрывать сигнал. Это верно, если 256-ю и верхнюю гармоники можно рассматривать как нули.

Иногда это делается намеренно, например, в пробоотборном осциллографе (не то же самое, что DSO, хотя некоторые DSO также осуществляют выборку - но пробоотборный осциллограф может быть полностью аналоговым устройством, и они были построены с 1950-х годов), чтобы справиться с периодическим сигналы, которые слишком высоки по частоте, чтобы их можно было экономически выгодно усиливать или иным образом обрабатывать линейными схемами - существует не так много ЭЛТ-осциллографов (ed), которые могут работать с необработанным сигналом 1 ГГц (некоторые существуют!), однако с 1 ГГц было легко справиться, недостаточная выборка даже с технологией 1960-х годов. В конце концов, вся система ведет себя подобно (не идентично) гетеродинирующему приемнику. Хотя высокочастотная гетеродинная непрерывная волна отсутствует, в используемых часах дискретизации все еще есть скрытый (и используемый) компонент очень высокой частоты:

Очевидно, что непериодический сигнал не может быть исследован таким образом, и сигнал с добавленными гораздо более низкочастотными компонентами может быть полностью искажен и / или неверно истолкован.

Я думаю, что то, что сказал [rackandboneman], соответствует намерению профессора. «Определенным условием» будет то, что исходный сигнал должен быть периодическим.

Вот код, показывающий, как восстановить исходный сигнал из сигнала с низкой частотой дискретизации. Исходному сигналу требуется период дискретизации 1/100 для восстановления его уникального паттерна (хотя его основная частота составляет 8/100). При выборке с периодом выборки 1,5 / 100 с исходная схема сигнала восстанавливается почти идеально с периодом выборки реконструкции 0,5 / 100. (Короче говоря, период выборки 0,5 / 100 сделан из периода выборки 1,5 / 100.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

Если сигнал дискретизируется с частотой S, любой контент с частотой f будет неотличим от любого другого контента с частотой NS + f или NS-f для некоторого целого числа N.

Является ли данная частота дискретизации адекватной, будет зависеть от того, существуют ли две частоты, содержание которых необходимо различать, но нельзя.

Например, если кто-то обеспокоен только сигналами в диапазоне 700–800 Гц, на входе не будет содержимого ниже 300 Гц или выше 1200, а присутствие других сигналов не приведет к срезанию, частота дискретизации 1000 Гц будет достаточной без каких-либо предварительных фильтрация, несмотря на наличие контента, общая полоса пропускания которого составляет 900 Гц. Контент в диапазоне от 300 Гц до 700 Гц был бы неотличим от контента в диапазоне от 800 Гц до 1200 Гц, но если бы никто не заботился о таком контенте, который не имел бы значения.