Почему скорость передачи данных Найквиста ниже скорости передачи данных Шеннона?

В книге « Компьютерные сети» автор рассказывает о максимальной скорости передачи данных канала. Он представляет формулу Найквиста:

C = 2H log 2 V (бит / с)$_2$

И приводит пример для телефонной линии:

канал без шума 3 кГц не может передавать двоичные (т.е. двухуровневые) сигналы со скоростью, превышающей 6000 бит / с.

Затем он объясняет уравнение Шеннона:

C = H log 2 (1 + S / N) (бит / с)$_2$

И приводит (опять же) пример для телефонной линии:

канал с полосой пропускания 3000 Гц с отношением сигнал / тепловой шум 30 дБ (типичные параметры аналоговой части телефонной системы) никогда не может передавать намного более 30 000 бит / с

Я не понимаю, почему частота Найквиста намного ниже, чем скорость Шеннона, так как скорость Шеннона принимает во внимание шум. Я предполагаю, что они не представляют ту же скорость передачи данных, но книга не объясняет это.

Чтобы понять это, вы должны сначала понять, что передаваемые биты не должны быть чисто двоичными, как указано в примере для емкости Найквиста. Допустим, у вас есть сигнал в диапазоне от 0 до 1 В. Вы можете отобразить 0v на [00] .33v на [01] .66v на [10] и 1v на [11]. Таким образом, чтобы учесть это в формуле Найквиста, вы должны изменить «V» с 2 дискретных уровней на 4 дискретных уровня, тем самым изменив свою емкость с 6000 до 12000. Это можно сделать для любого числа дискретных значений.

Есть проблема с формулой Найквиста, хотя. Поскольку он не учитывает шум, нет способа узнать, сколько дискретных значений возможно. Таким образом, Шеннон пришел и разработал метод, который, по существу, помещает теоретический максимум в число дискретных уровней, которые вы можете прочитать без ошибок.

Таким образом, в их примере, позволяющем получить 30 000 бит / с, вам необходимо иметь 32 дискретных значения, которые можно прочитать, чтобы обозначать разные символы.

Скорость передачи данных Найквиста (не частота Найквиста) - это максимальная скорость для двоичного (2 дискретных уровня) сигнала.

Скорость Шеннона учитывает уровни сигнала, так как максимальная скорость передачи данных не является только функцией полосы пропускания - если можно использовать бесконечное количество уровней сигнала, тогда скорость передачи данных может быть бесконечной независимо от полосы пропускания.
Поскольку наименьшее возможное приращение уровня будет зависеть от отношения сигнал / шум, именно поэтому оно включено в скорость Шеннона. Таким образом, для приведенного выше примера он показан для полосы пропускания 3000 кГц и SNR 30 дБ, вы можете передавать уровни, которые представляют 5 бит информации каждый.

Коэффициент мощности 30 дБ = 1000 к 1 может быть преобразован обратно в напряжение с помощью sqrt (1000) = ~ 32 различимых уровней (5 бит). Если мы применим это к более простой теореме Хартли, мы получим 2B * log2 (32) = 30 кГц для B = 3 кГц. Таким образом, 5 битов информации, умноженных на скорость передачи данных Найквиста 2B (= 6000 в этом примере), равны 30 000 бит / с.

Один описывает, как быстро вы производите выборку, другой - сколько данных вы можете передавать. Минимальная требуемая частота дискретизации является функцией только самой высокой частоты, которую вы хотите правильно представить. Это не зависит от количества шума на канале. Тем не менее, с меньшим количеством шума вы можете передавать больше информации за образец. Иными словами, Найквист говорит, какой должна быть частота дискретизации, а Шеннон говорит, сколько битов вы получаете за выборку.