Доказательство того, что каждая схема с диодами имеет ровно одно решение

Рассмотрим электронную схему, состоящую из линейных компонентов и ряда идеальных диодов. Под «идеальным» я подразумеваю, что они могут быть либо смещенными в прямом направлении (т.е. и ), либо смещенными в обратном направлении (т.е. и ).i D ≥ 0 v D ≤ 0 i D = $v_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$i_D=0$

Эти схемы могут быть рассчитаны путем произвольного объявления каждого диода либо с прямым или смещенным обратным смещением, и установки для каждого диода с смещением и для каждого диода с обратным смещением. После того, как полученная линейная схема была рассчитана, мы должны проверить, удовлетворяется ли на каждом диоде с смещением и на каждом диоде с обратным смещением . Если да, то это наше решение. Если нет, мы должны попробовать другой набор вариантов для диодов. Таким образом, для диодов мы можем рассчитать схему, рассчитав не более линейных цепей (обычно намного меньше).i D = 0 i D ≥ 0 v D ≤ 0 N 2 $v_D=0$$i_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$N$$2^N$

Почему это работает? Другими словами, почему всегда есть один выбор, который приводит к правильному решению и (что более интересно), почему никогда не бывает двух вариантов, которые оба приводят к действительным решениям?

Должна быть возможность доказать это на том же уровне строгости, с которой, например, теорема Тевенина доказана в учебниках.

Ссылка на доказательство в литературе также будет приемлемым ответом.

Я предполагаю, что это для надуманной проблемы, где есть цепь с известными пассивами и некоторыми данными I и V, и пятна, отмеченные для диодов неизвестного направления. Мой ответ:

Надеемся, что создатели проблем ограничены случаями, когда их предположения приводят к их выводам.

Это может быть теоретически неразрешимым, если диод будет посторонним; Рассмотрим заземление обеих сторон диода. Могут быть нетривиальные случаи использования виртуальных площадок или других равных напряжений, которые трудно обнаружить.

Несомненно, могут существовать действительные схемы, которые отличаются только направлением диода для любого значения «действительной схемы», которая включает в себя диоды. Подумайте о том, чтобы моделировать переключатели с использованием этих идеальных правил для диодов. Как вы можете решить, должен ли переключатель быть включен или выключен? Надеемся, что данные токи и напряжения дают достаточно подсказок. И, надеюсь, они не дали вам противоречивые намеки.

Это переносит вопрос на «Как вы можете определить, достаточно ли у экземпляра информации, чтобы быть уникальным?» Я помню, что ответом было что-то вроде того, что вам нужно одно независимое значение для каждого независимого неизвестного, но я уверен, что не смог доказать это или придумать общий тест на независимость того или другого.

Для идеальных диодов может быть несколько решений.

Тривиальный контрпример: возьмите любую схему, содержащую идеальные диоды, которые вы решили. Теперь замените один из идеальных диодов на, если прямая проводка, парой диодов, соединенных параллельно, или, если с обратным смещением, парой последовательно, сохраняя ориентацию в любом случае. Как вы решаете для распределения тока или напряжения между двумя? Вы не можете, идеальная модель диода приводит к выпуклой оболочке одинаково допустимых решений.

У меня нет строгих доказательств, но общая идея состоит в том, что, пока компоненты схемы имеют кривые ВИ, которые являются однозначными функциями (включая диоды и линейные компоненты), может быть только одно решение схема в целом.

Я думаю, что это довольно просто:

идеальные диоды с прямым смещением можно рассматривать как короткие замыкания, а идеальные диоды с обратным смещением - как разомкнутые цепи. Таким образом, в любом случае вы получаете схемы с только линейными компонентами (потому что все диоды разрешают открывать цепи или замыкать), и эти линейные схемы, как известно, имеют ровно одно решение.

Из Википедии загрузка строк ввода

Существует только одно уникальное решение из-за характера проблемы. Это лучше всего иллюстрируется графически в виде линий нагрузки. Диод имеет уравнение, которое описывает соотношение между током через него (ось Y) и напряжением на нем (ось X). Здесь ось х - это напряжение на диоде.

Посмотрите, что происходит с током на резисторе при изменении напряжения на диоде. Если напряжение на диоде равно Vdd, то на резисторе не будет падения напряжения, поскольку напряжение на резисторе и диоде должно суммироваться с Vdd), и, следовательно, на резисторе будет нулевой ток (закон Ома). Аналогично, если бы на диоде было нулевое падение напряжения, на резисторе было бы Vdd, а ток через резистор был бы Vdd / R.

Теперь мы знаем, что это нереальные ситуации, так как ток в диоде и резисторе должен быть одинаковым. Учитывая уравнение для резистора (линейное) и уравнение для диода (нелинейное, но монотонное возрастание), мы можем видеть на графике, что это может произойти только в одной уникальной точке, пересечении двух кривых.

Таким образом, одновременное решение трех уравнений (резистор, диод и тот факт, что два тока должны быть равны) дают одно уникальное решение.

Этот метод будет работать для всех элементов схемы.

Это немного отличается для диодов обратного тока, так как ток резистора идет в другую сторону, и к графику нужно добавить квадрант.

«Доказательство» этого будет работать только для определенных цепей. Если у вас есть некоторое усиление, и единственными нелинейными элементами являются сами диоды, вы можете иметь несколько возможных состояний. Например (может быть не самый простой пример).

Эта схема будет работать с идеальным идеально линейным операционным усилителем, и выход никогда не уходит в бесконечность или не насыщается, однако при 0 В на выходе может быть около +6 или около -6 на выходе, при этом одна или другая пара диодов проводит , Он также будет работать с «почти идеальными» диодами, которые имеют прямое падение при включении и не имеют других неидеальностей.

(и, конечно, туннельные диоды являются частным случаем с их немонотонной кривой IV).

Для доказательства, вероятно, потребуются только пассивные элементы, такие как резисторы (без зависимых источников тока или напряжения). Или, возможно, только с идеальными диодами с 0 В Vf.

Это не полное доказательство, но, возможно, оно поможет вам:

Если существует несколько решений, существует по крайней мере один диод, который может быть смещен в прямом или обратном направлении. Рассмотрим один такой диод. В данном решении это либо прямое, либо обратное смещение. Давайте определим напряжения на его клеммах, Va и Vb, так, чтобы, если оно смещено в прямом направлении, Va> = Vb, а если оно имеет обратное смещение, Vb> = Va. В случае прямого или обратного смещения, остальные Схема (RotC) производит эти напряжения на клеммах диода.

Поскольку вы заявили, что схема состоит из линейных элементов и диодов, либо RotC является чисто линейной сетью, либо содержит больше диодов.

Если RotC является чисто линейной сетью, у нее есть только одно решение, и единственное решение ограничений Va> = Vb и Vb> = Va состоит в том, что Va = Vb.

Если RotC включает больше диодов с несколькими возможными решениями, рассмотрим следующий такой диод. Опять же, он либо подключен к линейной сети, либо к сети с большим количеством диодов с несколькими возможными решениями.

Если предположить, что в схеме имеется конечное число диодов ...