Скажем, у меня синус 1 кГц, поэтому нет высших гармоник, тогда мне нужно сэмплировать его как минимум с частотой 2 кГц, чтобы иметь возможность его восстановить.
Но если я сэмплирую на частоте 2 кГц, но все мои сэмплы находятся на пересечении нуля, то мой сэмплированный сигнал вообще не показывает синус, скорее, ЭКГ умершего пациента. Как это можно объяснить?
Это может быть расширено и до более высоких частот дискретизации. Если я сэмплирую более сложную форму волны на частоте 10 кГц, я должен по крайней мере получить первые 5 гармоник, но если форма волны такова, что выборки каждый раз равны нулю, то снова мы ничего не получаем. Это не надумано, это вполне возможно для прямоугольной волны с рабочим циклом <10%.
Так почему же критерий Найквиста-Шеннона кажется здесь недействительным?
Ответы:
На самом деле вам нужна частота дискретизации чуть более 2 кГц для правильной выборки синусоидальных волн 1 кГц. Это не f N ≤ f S / 2
PS Если вы перенесли свой сигнал в сложное пространство, где синусоида имеет вид где t - время, A - амплитуда, f - частота, а θ - сдвиг фазы, f N
Non-Синусоида
В случае прямоугольной волны с частотой 1 кГц с коэффициентом заполнения, меньшей или равной 10%, которая дискретизируется при частоте 10 кГц, вы неправильно понимаете входной сигнал.
Сначала вам нужно будет разложить ваш сигнал на ряд Фурье, чтобы выяснить, каковы амплитуды компонентных гармоник. Вы, вероятно, будете удивлены, что гармоники для этого сигнала довольно велики за 5 кГц! (Эмпирическое правило третьей гармоники, равной 1/3 силы основного и 5-го, равного 1/5 основного, применимо только к прямоугольным волнам с коэффициентом заполнения 50% .)
Основное правило для сигнала связи заключается в том, что ваша сложная полоса пропускания совпадает с обратной величиной времени вашего наименьшего импульса, поэтому в этом случае вы рассматриваете минимальную полосу пропускания 10 кГц (от -5 кГц до 5 кГц) для рабочий цикл 10% с основной частотой 1 кГц (т.е. 10 кбит / с).
Итак, что вас испортит, так это то, что эти сильные гармоники высшего порядка будут складываться и мешать (конструктивно или деструктивно) вашим внутриполосным гармоникам, поэтому вполне ожидаемо, что вы не сможете получить хорошую выборку, потому что за Найквистом находится слишком много информации. группа.
источник
Майк объясняет это хорошо: это псевдоним, который заставляет гармоники исчезать в дискретизированном сигнале, сворачивание более высоких частот от до F S - f . При работе с дискретными сигналами вы всегда должны отфильтровывать что-либо выше F S / 2 .FS+ ф FS- ф
FS/ 2
В этом спектре синяя часть - это спектр сигнала вашей основной полосы от до F S / 2 . (См. Этот вопрос об отрицательных частотах). Обратите внимание , что этот спектр повторяется вокруг каждого кратного F S . В этом примере нет проблем; исходный сигнал отделен от изображений и может быть восстановлен.- FS/ 2 FS/ 2
FS
В этом примере (показаны только положительные частоты) мы можем видеть, что сигнал основной полосы выходит за пределы . Из-за складывающихся псевдонимов перекрываются с нашим базовым сигналом, и мы никак не можем отфильтровать их снова. Вот почему вам нужен (острый) фильтр нижних частот.FS/ 2
Теперь вы можете сказать, что импульс будет выглядеть совершенно иначе после фильтрации нижних частот, и это правильно, но если вы не хотите, чтобы вы выбрали слишком низкую частоту дискретизации. (Для прерывистого сигнала, такого как импульс, который имеет бесконечный спектр, вы всегда будете иметь искажения, независимо от вашего ). Помните, что вы можете восстановить сигнал только для частот, меньших, чем F S / 2 .FS FS/ 2
источник
Теорема в порядке. Ваш сигнал НЕ должен содержать частоты, равные или превышающие половину частоты дискретизации, согласно Nyquist. Шеннон, вероятно, допускает это, но это его версия теоремы, которая, вероятно, вызывает неоднозначность на критической частоте.
Редактировать (Re: downvoting для краткого ответа?): Я не вижу необходимости объяснять сам метод выборки. Речь идет о путанице «критическая частота включена в полосу или нет», и если формулировка теоремы Шеннона содержит ошибку. Это действительно так (как я вижу в мире вики). Или, скорее всего, авторы вики процитировали его слово неточно. И, кстати, в 20-м веке этой самой теоремы есть 4 независимых автора, поэтому путаница любого, кто изучает идею из случайных источников, может усугубиться.
источник
Но согласно Википедии:
Таким образом, частота дискретизации, равная удвоенной частоте, является неправильной - она должна быть чуть больше, чем удвоенная частота. Таким образом, последовательные выборки захватывают немного разные части формы сигнала.
источник
При выборке с определенной частотой F каждый частотный компонент f будет генерировать псевдонимы вида kF + f и kF- f для всех целочисленных значений k. При обычном использовании частотные компоненты выше F / 2 при дискретизации сигнала отсутствуют, поэтому единственными компонентами в диапазоне от 0 до F / 2 будут те, которые присутствовали в исходном сигнале. После выборки компоненты сигнала будут выше F / 2 (генерируются как псевдонимы из приведенных ниже). Наиболее проблемным из них для любой частоты f в исходном сигнале будет тот, что на частоте F- f .
Обратите внимание, что в качестве частоты Fприближается к F / 2 снизу, первая частота псевдонимов приближается к F / 2 сверху. Если на входе присутствует сигнал с частотой F / 2-0,01 Гц, на частоте F / 2 + 0,01 Гц будет псевдоним - чуть выше 0,02 Гц. Разделение исходных сигналов и сигналов псевдонимов теоретически возможно, но на практике это сложно. Выбранная форма волны будет отображаться как сумма двух волн одинаковой силы почти одинаковой частоты. Таким образом, его амплитуда будет изменяться в зависимости от относительной фазы высокочастотных волн. В случае, когда входная частота равна F / 2, частота псевдонима также будет точно F / 2. Поскольку не будет никакого разделения частот между оригиналом и псевдонимом, разделение будет невозможно. Фазовое соотношение между исходным и алиасовым сигналами будет определять амплитуду результирующего сигнала.
источник