Как использовать суперпозицию для решения схемы?

Да, это педагогический вопрос. Отвечая на другой недавний вопрос, я хотел сослаться на OP для кратких инструкций по использованию суперпозиции для решения схем. Я обнаружил, что все легко найденные ресурсы онлайн были несколько несовершенными. Как правило, им неясно, к каким типам суперпозиции цепей применяется, или о реальном методе применения теоремы суперпозиции к проблеме цепей. Так,

Какие виды схем могут быть решены с помощью суперпозиции?

Как обрабатываются различные виды источников при решении с помощью суперпозиции?

Какие шаги для решения схемы с помощью теоремы суперпозиции?

circuit-analysis Фотон
источник

Поскольку на это нужно указывать, как насчет вики-ответа сообщества, чтобы его можно было настроить для этой цели?

пещерный человек

Ответы:

Совмещение теоремы
" теорема суперпозиции для электрических цепей состояний , что для линейной системы отклика (напряжение или тока) в любой отрасли двусторонний линейной цепи , имеющей более одного независимого источника равна алгебраическая сумма ответов , вызванных каждый независимый источник , действуя в одиночку где все другие независимые источники заменены своими внутренними импедансами . "

Какие виды схем могут быть решены с помощью суперпозиции?

Схемы, состоящие из любого из следующих компонентов, могут быть решены с помощью теоремы суперпозиции

Независимые источники
Линейные пассивные элементы - резистор, конденсатор и индуктор
Трансформатор
Линейно-зависимые источники

Какие шаги для решения схемы с помощью теоремы суперпозиции?

Следуйте алгоритму:

Ответ = 0;
Выберите первый независимый источник.
Замените все независимые источники в исходной цепи, кроме выбранного источника с его внутренним сопротивлением.
Рассчитайте количество (напряжение или ток) интереса и добавьте к ответу.
Выход, если это был последний независимый источник. Еще перейдите к шагу 3 с выбором следующего источника.

Внутренний импеданс источника напряжения равен нулю, а импеданса источника тока - бесконечность. Поэтому замените источник напряжения с коротким замыканием и источник тока с разомкнутой цепью, выполняя шаг 3 в вышеупомянутом алгоритме.

Как обрабатываются различные виды источников при решении с помощью суперпозиции?

Независимые источники должны рассматриваться как описано выше.

В случае зависимых источников, не трогайте их.

nidhin
источник

Суперпозиция применяется только тогда, когда у вас чисто линейная система, т.е.

\begin{aligned} F (x_{1} + x_{2}) & = F (x_{1}) + F (x_{2}) \\ F (a x) & = a F (x) \end{aligned}

$\begin{align*} F(x_1 + x_2) &= F(x_1) + F(x_2)\\ F(a x) &= a F(x) \end{align*}$

В контексте анализа цепей схема должна состоять из линейных элементов (конденсаторов, катушек индуктивности, линейных трансформаторов и резисторов) с N независимыми источниками, и то, что вы решаете, должно быть либо напряжением, либо током. Обратите внимание, что вы можете принять наложенное решение для напряжения / тока, чтобы найти другие величины, которые не являются линейными (например, мощность рассеивается в резисторе), но вы не можете накладывать (добавлять) нелинейные величины, чтобы найти решение для большей система.

$i$

\begin{aligned} U = J R = R (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) = \sum_{i = 1}^{N} R J_{i} = \sum_{i = 1}^{N} U_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} U = J R = R \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) = \sum_{i=1}^N R J_i = \sum_{i=1}^N U_i \end{align*}$

Таким образом, я могу найти напряжение на резисторе, суммируя текущий вклад каждого источника, независимого от любого другого источника. Аналогично, чтобы найти ток, протекающий через резистор:

\begin{aligned} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i = 1}^{N} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{U_{i}}{R} = \sum_{i = 1}^{N} J_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i=1}^N U_i = \sum_{i=1}^N \frac{U_i}{R} = \sum_{i=1}^N J_i \end{align*}$

Однако, если я начну смотреть на силу, суперпозиция больше не будет применяться:

\begin{aligned} P = J U = (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) (\sum_{j = 1}^{N} U_{j}) \neq \sum_{i = 1}^{N} J_{i} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} P_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} P = J U = \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) \left(\sum_{j=1}^N U_j\right) \neq \sum_{i=1}^N J_i U_i = \sum_{i=1}^N P_i \end{align*}$

Общий процесс решения схемы с использованием суперпозиции:

$i$ $F_i$
$F_i$

Пример 1

Возьмите эту схему с двумя источниками:

схематический

^{смоделировать эту схему - схема, созданная с использованием CircuitLab}

Я хочу решить для тока J, протекающего через R1.

Выберите V1 в качестве источника 1 и I1 в качестве источника 2.

$J_1$

схематический

^{смоделировать эту схему}

$J_1 = 0$

$J_2$

схематический

^{смоделировать эту схему}

$J_2 = I_1$

\begin{aligned} J = J_{1} + J_{2} = 0 + I_{1} = I_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \end{align*}$

Пример 2

схематический

^{смоделировать эту схему}

$J$

\begin{aligned} J_{1} & = - \frac{V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J_{2} & = \frac{V_{2}}{R_{2} + R_{1} + R_{4} + R_{5}} \\ J_{3} & = - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{4} + R_{2} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_1 &= -\frac{V_1}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J_2 &= \frac{V_2}{R_2 + R_1 + R_4 + R_5}\\ J_3 &= -I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \end{align*}$

\begin{aligned} J & = J_{1} + J_{2} + J_{3} = \frac{V_{2} - V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J &= J_1 + J_2 + J_3 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} - I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

Сила суперпозиции заключается в том, что вы задаете вопрос: «Что если я хочу добавить / удалить источник?» Скажем, я хочу добавить текущий источник I2:

схематический

^{смоделировать эту схему}

\begin{aligned} J_{4} & = I_{2} \frac{R_{1} + R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J & = \sum_{i = 1}^{4} J_{i} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5}) + I_{2} (R_{1} + R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_4 &= I_2 \frac{R_1 + R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J &= \sum_{i=1}^4 J_i = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

helloworld922
источник

У меня есть несколько комментариев, которые, я надеюсь, будут полезны: 1. Я считаю, что использование U и J несколько сбивает с толку, V и я лучше; 2. Первое уравнение для U не должно быть суммированием, поскольку оно относится только к i-му источнику; 3. Другие суммы должны быть, я полагаю, взяты от i = 1 до N, а не от i до N; 4. Суперпозиция в теории цепей используется только для тока и напряжения, поэтому я бы перешел к обсуждению мощности позже в тексте; 5. В примере, следующем за простым из I1 и R1, не должно ли J3 = -I1 (...), поскольку I1 действует в направлении, противоположном J3?

Чу

I_{3} = I_{1} \cdot (blah)

$I_3 = I_1 \cdot (\textrm{blah})$