Поляки и участки Боде

17

У меня есть три вопроса, которые беспокоили меня долгое время:

  1. Мы говорим, что на графике Боде при падении полюса наблюдается усиление на 20 дБ за десятилетие. Но разве полюсы не определены как значения делающие передаточную функцию бесконечностью? Так почему же в этот момент усиление не увеличивается, а падает?s

  2. Физически, что происходит, когда мы питаем систему с полюсной частотой?

  3. Также рассмотрим передаточную функцию . Система имеет полюс в точке . То есть для полюса и . Но когда мы применяем синусоидальный сигнал к его входу и рисуем график Боде, почему мы говорим, что есть полюс со скоростью 2 рад / с (хотя для полюса и )?s = ( - 2 + j 0 ) σ = - 2 ω = 0 ω = 0 σ = - 21/(s+2)s=(2+j0)σ=2ω=0ω=0σ=2

Вишнудас Таниэль С
источник
1
Знаете ли вы значение «частоты полюсов»? Это частота, идентичная длине вектора от начала координат до местоположения полюса (правило Пифагора). В случае реального полюса частота полюса идентична отрицательной действительной части (-сигма). Следовательно, невозможно возбудить какую-либо цепь с ее полюсной частотой. Это просто искусственный, но очень полезный инструмент.
LvW
@LvW: эту частоту обычно называют собственной частотой . Частота полюса определяется мнимой частью полюса.
Мэтт Л.
Мэтт Л., извините, но я не согласен. Я буду искать некоторые ссылки.
LvW
Мэтт Л., я боюсь, есть разница в терминологии между Германией и США. Я думаю, я должен согласиться с тем, что в вашей стране параметр, который мы называем «частота полюсов», известен как «собственная частота». Сожалею.
LvW
@Matt L., я рад сообщить вам, что я не совсем «не в курсе»: есть книга о методах фильтрации «Аналоговые и цифровые фильтры» (Harry YFLam, Bell Inc.), в которой величина местоположение полюса (расстояние от начала координат) также называется "частотой полюса". Полезно знать, но мы всегда должны быть осторожны при использовании таких ключевых слов.
LvW

Ответы:

10

График Боде - это не график, который отображает передаточную функцию ( ) против s . H ( s ) - сложная функция, и ее график величины фактически представляет поверхность в декартовой системе координат. И эта поверхность будет иметь пики, идущие в бесконечность на каждом полюсе, как показано на рисунке:H(s)sH(s)

введите описание изображения здесь

График Боде получается путем подстановки в H ( s ), а затем представления его в полярной форме H ( j ω ) = | H ( ω ) | ϕ ( ω ) . H ( ω ) дает график зависимости Боде, а ϕ ( ω ) - график зависимости Боде.sзнак равноJωЧАС(s)H(jω)=|H(ω)|ϕ(ω)H(ω)ϕ(ω)

График величины Боде представляет собой асимптотическое приближение величины передаточной функции ( ) к логарифму частоты в радианах / с ( log 10 | ω | ) с | H ( s ) | (выражено в дБ) по оси Y и log 10 | ω | на оси х.|H(ω)|log10|ω||H(s)|log10|ω|

Подходя к вопросам:

  1. На полюсах сложная поверхность вершины в бесконечность не | H ( ω ) | ,|H(s)||H(ω)|

  2. Когда система питается от полюсной частоты, выход коспонсора будет иметь ту же частоту, но амплитуда и фаза будут меняться. Значение можно определить, подставив частоту в радианах / с в и ϕ ( ω ) соответственно.|H(ω)|ϕ(ω)

  3. Полюс при -2 рад / с и 2 рад / с одинаково влияет на , И наш интерес в частотной характеристике. Поэтому нам нужна только положительная часть этого.|H(ω)|

nidhin
источник
Хороший ответ, и мне нравится, что вы нашли время, чтобы красиво его отформатировать! +1
ноль
Я не могу следовать. Во-первых, H(s)сам по себе не представляет поверхность, как вы показываете; вместо этого он имеет комплексное значение на каждом (сложном) с. То, что вы отображаете, это, вероятно, абсолютное значение (величина) |H(s)|или, возможно, реальная часть real(H(s)). Что касается того, что вы говорите в первом абзаце под изображением: если real(H(s))и / или imag(H(s))перейти в бесконечность, то величина |H(s)|также переходит в бесконечность. Как это не могло?
Кристофер Кройциг
@ChristopherCreutzig Показанный график является трехмерным графиком. действительная часть 's' на оси x, мнимая часть 's' на оси y и величина H (s) на оси z. но я вижу, что есть некоторые заблуждения. Позвольте мне внести изменения.
Нидин
Я получил эту часть. Моя жалоба состоит в том, что график не имеет H (s), поскольку просто невозможно построить сложную функцию сложного параметра таким образом (при использовании менее четырех измерений). Показанная поверхность является поверхностью |H(s)|и не должна называться поверхностью (участком) H.
Кристофер Кройциг
@ Кристофер, теперь я тебя достал. Я использовал слова в довольно запутанной форме. Надеюсь, что я дал понять, на этот раз.
Нидин
7

Пытаясь понять передаточные функции, я думаю, что «аналогия с резиновым листом» очень полезна. Представьте себе эластичный резиновый лист, покрывающий сложную плоскость, и представьте, что в каждом нуле передаточной функции лист прикреплен к земле, а на каждом полюсе есть буквально тонкий полюс, толкающий резиновый лист вверх. Величина частотного отклика представляет собой высоту резинового листа вдоль оси j ω .sJω

  1. Из приведенной выше аналогии, конечно, усиление идет вверх к полюсу. Но, удаляясь от полюса, вклад полюса заставляет передаточную функцию понижаться (например, приближаться к следующему нулю). Представьте простую систему, которую вы привели в качестве примера в своем третьем вопросе. Он имеет действительный полюс при и, благодаря этому полюсу, также имеет ноль при s 0 = . Таким образом, удаляясь от полюса с увеличивающейся частотой, передаточная функция понижается, потому что резиновый лист прилипает к земле на бесконечности. Математически это также легко увидеть: H ( s ) = 1sзнак равно-2s0знак равно В децибелах получаем 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(ω

    ЧАС(s)знак равно1s+2|ЧАС(Jω)|2знак равно1ω2+4знак равно141(ω2)2+1
    Дляω2второе слагаемое в правой части (1) можно аппроксимировать как -10log10(ω
    (1)10журнал10|ЧАС(Jω)|2знак равно-10журнал10(4)-10журнал10[(ω2)2+1]
    ω»2 которая является прямой линией с уклоном-20
    -10журнал10(ω2)2знак равно-20журнал10(ω/2)
    за десятилетие-20децибел
  2. ЧАС(s)знак равно1s+2Икс(T)знак равное-2TY(T)знак равноTе-2TT0T

  3. 22-20ω»22

Мэтт Л.
источник
Я слышал эту аналогию раньше, и я думаю, что она лучше всего подходит для понимания концепции. И спасибо, что нашли время, чтобы красиво отформатировать ваш ответ! +1
ноль
6

введите описание изображения здесь

sJωωпзнак равно1000Qпзнак равно1,3

LVW
источник
0

«S» в ваших уравнениях является константой в функции exp (s * t). Итак, когда s - действительное число, эта функция времени является экспоненциально растущей или падающей функцией. Ваш пример с s = -2 - экспоненциально падающая функция. Для любого полюса «число» выход будет расти, когда вы применяете вход для этого «числа». Если вы примените экспоненциально падающий сигнал к вашей примерной схеме, выходной сигнал уйдет в бесконечность. (Обратите внимание, однако, что невозможно генерировать сигнал, который всегда экспоненциально падает, потому что такой сигнал иногда очень велик в прошлом). Когда вы говорите о частотах, таких как 2 радиана / сек, вы говорите о полюсах при j * 2, а не 2, поэтому эти сигналы являются синусоидальными. Можно генерировать сигналы синусоидальной формы (по крайней мере, в течение довольно длительного времени).

user69795
источник
Так как вы не ответили на его вопрос, это должен быть комментарий
Pedro Quadros