У меня есть три вопроса, которые беспокоили меня долгое время:
Мы говорим, что на графике Боде при падении полюса наблюдается усиление на 20 дБ за десятилетие. Но разве полюсы не определены как значения делающие передаточную функцию бесконечностью? Так почему же в этот момент усиление не увеличивается, а падает?
Физически, что происходит, когда мы питаем систему с полюсной частотой?
Также рассмотрим передаточную функцию . Система имеет полюс в точке . То есть для полюса и . Но когда мы применяем синусоидальный сигнал к его входу и рисуем график Боде, почему мы говорим, что есть полюс со скоростью 2 рад / с (хотя для полюса и )?s = ( - 2 + j 0 ) σ = - 2 ω = 0 ω = 0 σ = - 2
transfer-function
Вишнудас Таниэль С
источник
источник
Ответы:
График Боде - это не график, который отображает передаточную функцию ( ) против s . H ( s ) - сложная функция, и ее график величины фактически представляет поверхность в декартовой системе координат. И эта поверхность будет иметь пики, идущие в бесконечность на каждом полюсе, как показано на рисунке:H(s) s H(s)
График Боде получается путем подстановки в H ( s ), а затем представления его в полярной форме H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) дает график зависимости Боде, а ϕ ( ω ) - график зависимости Боде.s = j ω ЧАС( s ) ЧАС(jω)=|H(ω)|∠ϕ(ω) H(ω) ϕ(ω)
График величины Боде представляет собой асимптотическое приближение величины передаточной функции ( ) к логарифму частоты в радианах / с ( log 10 | ω | ) с | H ( s ) | (выражено в дБ) по оси Y и log 10 | ω | на оси х.|H(ω)| log10|ω| |H(s)| log10|ω|
Подходя к вопросам:
На полюсах сложная поверхность вершины в бесконечность не | H ( ω ) | ,|H(s)| |H(ω)|
Когда система питается от полюсной частоты, выход коспонсора будет иметь ту же частоту, но амплитуда и фаза будут меняться. Значение можно определить, подставив частоту в радианах / с в и ϕ ( ω ) соответственно.|H(ω)| ϕ(ω)
Полюс при -2 рад / с и 2 рад / с одинаково влияет на , И наш интерес в частотной характеристике. Поэтому нам нужна только положительная часть этого.|H(ω)|
источник
H(s)
сам по себе не представляет поверхность, как вы показываете; вместо этого он имеет комплексное значение на каждом (сложном) с. То, что вы отображаете, это, вероятно, абсолютное значение (величина)|H(s)|
или, возможно, реальная частьreal(H(s))
. Что касается того, что вы говорите в первом абзаце под изображением: еслиreal(H(s))
и / илиimag(H(s))
перейти в бесконечность, то величина|H(s)|
также переходит в бесконечность. Как это не могло?|H(s)|
и не должна называться поверхностью (участком)H
.Пытаясь понять передаточные функции, я думаю, что «аналогия с резиновым листом» очень полезна. Представьте себе эластичный резиновый лист, покрывающий сложную плоскость, и представьте, что в каждом нуле передаточной функции лист прикреплен к земле, а на каждом полюсе есть буквально тонкий полюс, толкающий резиновый лист вверх. Величина частотного отклика представляет собой высоту резинового листа вдоль оси j ω .s J ω
Из приведенной выше аналогии, конечно, усиление идет вверх к полюсу. Но, удаляясь от полюса, вклад полюса заставляет передаточную функцию понижаться (например, приближаться к следующему нулю). Представьте простую систему, которую вы привели в качестве примера в своем третьем вопросе. Он имеет действительный полюс при и, благодаря этому полюсу, также имеет ноль при s 0 = ∞ . Таким образом, удаляясь от полюса с увеличивающейся частотой, передаточная функция понижается, потому что резиновый лист прилипает к земле на бесконечности. Математически это также легко увидеть: H ( s ) = 1s∞= - 2 s0= ∞
В децибелах получаем
10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(ω
источник
источник
«S» в ваших уравнениях является константой в функции exp (s * t). Итак, когда s - действительное число, эта функция времени является экспоненциально растущей или падающей функцией. Ваш пример с s = -2 - экспоненциально падающая функция. Для любого полюса «число» выход будет расти, когда вы применяете вход для этого «числа». Если вы примените экспоненциально падающий сигнал к вашей примерной схеме, выходной сигнал уйдет в бесконечность. (Обратите внимание, однако, что невозможно генерировать сигнал, который всегда экспоненциально падает, потому что такой сигнал иногда очень велик в прошлом). Когда вы говорите о частотах, таких как 2 радиана / сек, вы говорите о полюсах при j * 2, а не 2, поэтому эти сигналы являются синусоидальными. Можно генерировать сигналы синусоидальной формы (по крайней мере, в течение довольно длительного времени).
источник