Я изучал книгу по современной технике управления Ogata и выполняю несколько упражнений, чтобы улучшить мое понимание основных принципов управления. Я наткнулся на следующий пример, который я пытаюсь решить.

Мне нужно придумать передаточную функцию, которая моделирует этот вибратор. Вопросы следующие:

В этом примере вы будете анализировать вибростенд (рис. 1). Эта система состоит из таблицы масс M и катушки, масса которой равна m. Постоянный магнит, жестко прикрепленный к земле, обеспечивает постоянное магнитное поле. Движение катушки, 𝑦, через магнитное поле индуцирует напряжение в катушке, которое пропорционально ее скорости, как в уравнении. 1. 𝑒 = 𝛼𝑦̇ [ур.1]

Прохождение тока через катушку заставляет ее испытывать магнитную силу, пропорциональную току, как в уравнении. 2. 𝐹 = 𝛽𝑖 [уравнение 2]

Вопрос: Получить параметрическую передаточную функцию с выходом 𝑥 на вход 𝑉.

Вот некоторые вопросы, на которые мне сложно ответить, но которые влияют на весь TF:

• Если K2 и B2 сжаты на расстояние Z (при движении вверх
  из-за катушки, взаимодействующей с магнитным полем), означает ли это, что k1 и b1 вытянуты на одно и то же расстояние Z?

• Если m(катушка) перемещается вверх на 2 см, разве M(стол) также перемещается вверх на 2 см?

---

Что я должен сделать:

• Придумайте две отдельные диаграммы свободных тел, одну для массы M таблицы и одну для массы m катушки.
• Нарисуйте одну принципиальную схему, включая обратную ЭДС.
• Преобразовать в s-домен.
• Решайте одновременно.

Что я сделал до сих пор:

• Нарисуйте, чтобы отделить свободные диаграммы тела и извлечь уравнения.

• Нарисуйте принципиальную схему и извлеките уравнение.

• Конвертировать в s-домен.

Используя функцию MATLAB, solveмне удалось получить 2 разные функции передачи 5-го порядка (по одной для каждого метода, который я предлагаю ниже), однако я не уверен, какой из них правильный и почему.

---

Общая система:

Это схематическое представление о том, как, по моему мнению, можно смоделировать виброиспытательный стенд, исключая электрическую часть.

---

Диаграмма Свободного Тела 1 - Таблица - Восходящее Соглашение

Пружины k1и k2и демпферы b1и b2будут смоделированы отдельно . Поскольку их нельзя сложить и рассматривать как одно, их сжатие и расширение являются отдельными.

Восходящая сила исходит k2и b2которая прикреплена к катушке. Они испытывают восходящее движение.

Уравнение в s-области:

Ms^2X + b1sX + k1X = b2s(X-Y) + k2(X-Y)

---

Диаграмма Свободного Тела 2 - Катушка - Восходящее Соглашение

Катушка испытывает усилие вверх, однако пружина и демпфер удерживают ее, действуя в противоположном направлении.

Уравнение в s-области:

Fem = Ms^2Y + b2s(X-Y) + k2(X-Y)

---

Два разных метода, показанных выше для FBD таблицы, приводят к разным уравнениям в s-области и разным передаточным функциям.

Что такое правильная диаграмма свободного тела для стола и катушки?

вступление

М и м имеют только одну степень свободы; оба могут двигаться только вертикально. Магнитная сила действует непосредственно на магнит m, а не на массу M.

$90^o$$b_1$$b_2$

Теперь ясно, что это последовательная связь масс с динамическими элементами между ними, поэтому мы начинаем записывать уравнения движения справа налево, начиная сначала с электрического уравнения для m, которое будет содержать V, y и F.
После этого мы напишем уравнение движения для m и для M.
Поскольку на M не влияет магнитная сила, это последнее уравнение даст нам y как функцию от x, которая будет использоваться в первом уравнении для связи x с V.

электрический

$$e=\alpha \dot y \, , \, F=\beta i \, , \, V- e=Ri+L \dot i$$ $$V-e = V - \alpha \dot y = R i + L \dot i = \frac{R}{\beta}F+\frac{L}{\beta}\dot F$$

$y$$F$$V$

Магнит

$$F+m \ddot y + b_2 \left(\dot y - \dot x \right) +k_2 \left(y-x \right) =0$$ $$V-\alpha \dot y = V(s)-\alpha s y = \left(R+Ls\right) i = \left(R+Ls\right)F/\beta$$ $$F=\frac{\beta}{R+Ls}\left(V(s)-\alpha s y\right)$$ $$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+m\ddot y +k_2\left(y-x\right) + b_2\left(\dot y-\dot x\right)=0$$ $$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+ms^2 y +k_2\left(y-x\right) + b_2s\left( y- x\right)= 0$$ $$ms^2y+\left(b_2-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}\right)sy +k_2y -b_2sx - k_2x =-\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$$ $x$$y$ $$\left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right)y-\left(b_2s+k_2\right)x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$$

Подвижный стол

$$M\ddot x +k_1x+b_1\dot x +k_2\left(x-y\right)+b_2\left(\dot x-\dot y\right)=0$$ $$Ms^2 x +k_1x+b_1s x +k_2\left(x-y\right)+b_2s\left( x- y\right)=0$$ $$-b_2sy -k_2y +Ms^2x +\left(b_1+b_2\right)sx +\left(k_1+k_2\right)x =0$$ $x$$y$ $$- \left( b_2s+k_2 \right) y + \lbrace Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2 \rbrace x = 0$$ $$y = \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2}x$$

Ансамбль

$y=f(x)$$x$$y$$V$

$$\left[ \left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right) \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2} - \left( b_2s+k_2 \right) \right] x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$$

$R+Ls$

$$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \frac{Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)}{b_2s+k_2}-(R+Ls)(b_2s+k_2)\right]x = -\beta V(s)$$

$b_2s+k_2$

$$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \lbrace Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)\rbrace - (R+Ls)(b_2s+k_2)^2 \right]x = - (b_2s+k_2) \beta V(s)$$

Из визуального осмотра следует, что мы можем ожидать передаточную функцию $x(s)/V(s)$с максимальным порядком 1 в знаменателе и 5 в знаменателе. Возможно, что один ноль компенсируется одним полюсом, но это умозрительно и потребует еще немного переписать, чтобы выяснить это.