Интуитивное объяснение

Может ли кто-нибудь дать интуитивное объяснение того, почему матрица Слуцкого, умноженная на вектор цен, дает нулевую матрицу?

Я знаю, что это правда, но я не очень понимаю, почему это правда. Кто-нибудь может помочь здесь?

Это общее математическое свойство второй производной / гессенской матрицы многомерных функций, однородных степени первой.

Функция расходов однородна первой степени в ценах. Почему? Если все цены изменяются в одинаковой пропорции (как мы проверяем математическое свойство однородности), относительные цены не меняются. Если относительные цены не меняются, количественный состав скомпенсированного потребления с минимальными затратами для достижения данной полезности не изменяется вообще . Затем, поскольку все цены выросли в одинаковой пропорции, бюджетные доли остаются неизменными, а расходы, необходимые для достижения той же полезности, увеличиваются в той же пропорции: однородность степени один.$E$

По двойственности, то Хикса вектор спрос градиент функции расходов, .$H = \nabla_p E$

Вектор спроса Хикса, дает нам минимальные объемы спроса. Из-за однородности первой степени функции «Расходы» внутренний продукт вектора спроса Хиксиана на вектор цен равен функции «Расходы». Это также должно быть интуитивно понятно: мы просто умножаем каждое требуемое количество на цену за единицу, которая должна быть уплачена за него, и, суммируя эти продукты, мы получаем совокупные расходы, которые мы должны понести, чтобы получить комплект минимальных затрат для данной полезности.

$E = H\cdot p$$\frac {\partial}{\partial p}E = H$

$$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$$

и это должно быть так, что

$$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$$

$k$$k-1$

$\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$$S(w,p) \cdot p = 0$

Таким образом, результат проистекает из однородности первой степени функции расходов. Есть ли интуитивное объяснение, аналогичное интуиции за однородностью первой степени функции расходов? Ну, первое происходит непосредственно от второго, поэтому трудно придумать «отдельный» интуитивный аргумент. Можно неофициально сказать, что требуемые компенсируемые количества «не зависят» (не подвержены влиянию) от изменения цен, когда относительные цены остаются неизменными. Тогда в геометрических терминах это означает, что векторы скоростей изменения скомпенсированных величин, которые требуются (то есть то, что содержится в каждой строке матрицы Слуцкого), ортогональны вектору цены.

Я не знаю, будете ли вы считать это объяснением или, скорее, доказательством.

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$p^\ast$$\delta$

$$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

$$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$$

$\mathbf{p^\ast}$$\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$${p_j^\ast}$$\Delta \times {p_j^\ast}$$h_i$$\delta$$\Delta \mathbf{p^\ast}$$S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Иными словами, поскольку спрос Хиксиана на любой товар не реагирует на изменение цен, при котором относительные цены остаются неизменными, тогда, если мы посмотрим на общее влияние отдельных изменений цен на товар, мы должны наблюдать 0 изменить.

$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$$D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$$p'x(p,w)=w$$x(p,w)'p=w$$S(p,w)p=0$