Требует ли общее равновесие здесь оптимальности по Парето?

Есть два потребителя $ A $ и $ B $, и два производителя $ X $ и $ Y $. Потребители наделены трудом (L) и капиталом (K) $ L_A, K_A $ и $ L_B, K_B $ соответственно. В предпочтениях двух потребителей есть служебные функции $ U_A = X_A ^ 4Y_A $ и $ U_B = X_BY_B $. Технологии двух производителей задаются $ X = \ sqrt {K_XL_X} / 2 $ и $ Y = 2 \ sqrt {K_YL_Y} $. Установив ставку заработной платы $ w = 1 $, каковы конкурентные общие равновесные относительные цены?

Это связано с проблемой домашнего задания, но я хочу понять, как решить этот общий класс вопросов. Требует ли это оптимальности по Парето? Как исчисление фигурирует в этом вопросе? Любая помощь будет отличной! Благодарю.

Конкурентное равновесие является вектором цены $ (p_x, p_y, w = 1, r) $ таким, что он решает следующую систему уравнений:

1. Спрос на $ X $ = предложение $ X $
2. Спрос на $ Y $ = предложение $ Y $
3. Спрос на $ L $ = предложение $ L $
4. Спрос на $ K $ = предложение $ K $

где эти требования и поставки либо экзогенно даны, либо получены путем решения задачи максимизации полезности потребителей и задачи максимизации прибыли фирмы стандартным способом.

Способ 1 Один из способов решить поставленную проблему - найти эти требования и запасы и решить полученную систему уравнений.

Способ 2 Другой способ - использовать первую теорему благосостояния. Первая теорема благосостояния гласит, что если коммунальные услуги растут, то конкурентное равновесие является эффективным по Парето. В объявленной проблеме оба потребителя имеют возрастающую функцию полезности. Таким образом, мы можем использовать его для определения конкурентных цен равновесия. Равновесные цены и распределение удовлетворяют следующему:

1. Эффективность производства: MRTS $ ^ X_ {L, K} $ = MRTS $ ^ Y_ {L, K} $ = $ \ frac {w} {r} $. Используйте это, чтобы получить Границу производственных возможностей (PPF).
2. Эффективность потребления: MRS $ ^ A_ {X, Y} $ = MRS $ ^ B_ {X, Y} $ = MRT $ _ {X, Y} $ = $ \ frac {p_X} {p_Y} $.

Решение (с использованием метода 2): учитывая данные, мы видим, что обе производственные функции демонстрируют постоянную отдачу от масштаба, и PPF будет иметь вид $ 4x + y = $ constant. Следовательно, соотношение цен $ \ frac {p_x} {p_y} $ в равновесии будет равно 4 независимо от начальных запасов. Это будет верно до тех пор, пока оба входа $ L $ и $ K $ доступны в положительных количествах. Равновесие может быть полностью определено после того, как будут указаны подробности об одаренности Чтобы найти соотношение $ \ frac {w} {r} $, нам нужно знать общую обеспеченность трудом и капиталом в экономике, а также найти абсолютные цены в $ X $ и $ Y $ с учетом $ w = 1 $. данные о том, сколько общего вклада труда и капитала принадлежит каждому потребителю.

Конкурентное общее равновесие

Модель, которую вы набросали, является стандартной моделью общего равновесия, и, следовательно, любое конкурентное равновесие эффективно по Парето.

Другой ответ говорит о том, что потребители / фирмы являются атомистами. Я этого не понимаю. Стандартное допущение теории общего равновесия состоит в том, что потребители и фирмы принимают цены.

Другой ответ также говорит о частичном равновесии, поскольку заработная плата не может регулироваться. Я опять не понимаю этого. Учитывая вектор цен конкурентного равновесия и распределение, умножение всех цен на константу создает другое равновесие с тем же распределением. Другими словами, конкурентное равновесие ограничивает только относительные цены. Стандартное упрощение, которое не нарушает общности, заключается в том, чтобы нормализовать цену одного товара до единицы. Здесь нормализация распространяется на цену труда, заработную плату.

Как найти конкурентное равновесие? Я боюсь, что нет другого способа, кроме как вывести вальрасианские требования потребителей и предложения фирм и найти цены, которые очищают все рынки, то есть рынки двух потребительских товаров и рынки производственных ресурсов.