Что такое заменитель / дополнение с точки зрения смешанных частных производных?

Я пытаюсь понять, как замещаемость относится к смешанным частным производным. Я думал, что изменение предельной полезности по отношению к изменению количества будет соответствовать ∂ $x$ поэтому я запутался, когда я взял частичную часть этого относительноу. Измеряет ли это скорость изменения MUотносительноxпри измененииy? Как это связано с тем, чтобы быть заменой?

Здесь очень важно отметить, что существует множество взаимно непоследовательных возможностей для определения замены / дополнения.

Один из способов заключается сказать , что и у являются дополняющими , если увеличение у повышает предельную полезность х (или, учитывая симметрию смешанных партиалов, наоборот): ∂ 2$x$$y$$y$$x$Это предложение в ответе foobar.

Другой способ - сказать, что и y являются дополнениями, если снижение цены y повышает хиксианский (или компенсированный) спрос на x . Поскольку спрос Хиксиана является производной функции стоимости (она же расход) по лемме Шепарда , это также можно выразить как условие для смешанных частичностей: ∂ 2$x$$y$$y$$x$ Это предложение в комментарии snoram, и это понятие более широко преподается в микроклассах.

Эти определения не эквивалентны! Действительно, в любом случае только с двумя товарами эти два товара должны быть заменами в соответствии с (2), независимо от того, является ли перекрестное частичное в (1) положительным или нет.$U$

Можно дать плодотворные ярлыки этим концепциям (хотя эти ярлыки чаще встречаются в случае производства, чем функций полезности). После Hicks, мы можем назвать комплементы по определению (1) Q-дополнения : если и у являются Q-комплементы, увеличение количества от у приводит к увеличению предельной величины х . Между тем, мы можем назвать комплементы по определению (2) р-комплементы : если х и у являются р-комплементы, снижение цен на у приводит к увеличению спроса на х . Смотрите, например,$x$$y$$y$$x$$x$$y$$y$$x$Seidman (1989) для краткого обзора.

Обе концепции полезны в разных ситуациях - это зависит от того, что вас интересует!

Более техническое примечание: вы можете заметить, что (1) и (2) не кажутся очень похожими друг на друга: (2) является компенсированным понятием, держащим нас на одной кривой безразличия, в то время как (1) нет. Это обоснованная критика, и действительно есть альтернативное понятие «q-дополнений», которое компенсируется, и понятие «p-дополнений», которое не компенсируется.

$x$$y$$U$хотя я сам не имею его копии.) Это понятие также имеет смешанную частичную характеристику в терминах чего-то, называемого функцией расстояния, который является классным инструментом микро-теории, который никто больше не изучает; Матрица смешанных частичек функции расстояния называется матрицей Антонелли и является обобщенной обратной матрицей любимого Слуцкого.

$x$$y$$y$$x$

$y$$x$$U$

$x =$$y =$

$y$$x$

$U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$$x$$y$

С нашей обувью и компьютерными играми, конечно, перекрестная производная равна 0. С мороженым и ложками, это, скорее всего, положительно: наличие ложки увеличивает предельную выгоду, которую вы получаете от мороженого, следовательно, положительную взаимную корреляцию.

Наконец, подумайте о шоколаде и мороженом. Можно утверждать, что они работают как заменители (например, подумайте о пустыне): вы либо хотите одно, либо другое. Если вы получите их бесплатно , конечно, это не помешает им обоим. Но если вам приходится платить справедливые цены, вы предпочитаете заплатить цену за один из вариантов и придерживаться этого.