Существует ли класс функций спроса, которые обеспечивают равный избыток потребителям и монополистам?

Рассмотрим рынок с фирмой-монополистом, которая имеет нулевые предельные издержки и сталкивается со спросом $ D (p; \ mathbf {a}) $, где $ \ mathbf {a} $ - вектор параметров, а $ p $ - цена. Монополист максимизирует прибыль, решая $$ \ max_p D (p; \ mathbf {a}) p, $$ так что оптимальная цена $ p ^ * $ удовлетворяет условию $$ D_1 (p ^ *; \ mathbf {a}) p ^ * + D (p ^ *; \ mathbf {a}) = 0. $$

Эта оптимальная цена, $ p ^ * $, приводит к излишку потребителя и профицит производителя $$ \ текст {PS} = D (р ^ *, \ mathbf {а}) р ^ *. $$

Мой вопрос: существует ли семейство функций спроса $ D (p; \ mathbf {a}) $, такое, что $ \ text {CS} = \ text {PS} $ всегда выполняется при $ p ^ * $, и если да, то как выглядит функциональная форма?

У нас есть это

$$ D (p ^ *, \ mathbf {a}) = - \ frac {d} {dp ^ *} \ int_ {p ^ *} ^ \ infty \! D (p; \ mathbf {a}) \, дп, $$

$$ \ Rightarrow \ text {PS} (p ^ *) = - \ text {CS} '(p ^ *) p ^ * \ tag {1} $$

Так

$$ \ text {PS} (p ^ *) = \ text {CS} (p ^ *) \ Rightarrow - \ text {CS} '(p ^ *) p ^ * = \ text {CS} (p ^ * ) $$

или же

$$ \ text {CS} '(p ^ *) + \ frac 1 {p ^ *} \ text {CS} (p ^ *) = 0 \ tag {2} $$

которое является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка в $ p ^ * $ с переменным коэффициентом. Его решение

$$ \ text {CS} (p ^ *) = B \ exp \ left \ {- \ int \ frac 1 {p ^ *} dp ^ * \ right \} = B \ exp \ left \ {- \ ln p ^ * \ right \} = B \ frac 1 {p ^ *}, \; \; B & gt; 0 \ tag {3} $$

Таким образом, мы имеем, что функция спроса, которую ищет ОП, должна удовлетворять

$$ \ int_ {p ^ *} ^ \ infty \! D (p; \ mathbf {a}) \, dp = B \ frac 1 {p ^ *} \ tag {4} $$

Так как он должен содержать $ \ forall p ^ * $, мы можем считать производную w.r.t равной $ p ^ * $ с обеих сторон, чтобы получить

$$ D (p ^ *; \ mathbf {a}) = B \ frac 1 {[p ^ *] ^ 2} \ tag {5} $$

Но поскольку он должен содержать $ \ forall p ^ * $, он также содержит $ \ forall p $. Так

$$ \ text {PS} = \ text {CS} \ Rightarrow D (p; \ mathbf {a}) = B \ frac 1 {p ^ 2} \ tag {6} $$ Проверка $ (6) $ проста.