Понимание построения случайных процессов

Я видел стохастические процессы, смоделированные / построенные следующим образом.

Рассмотрим вероятностное пространство и пусть S - (измеримое) преобразование S : Ω → Ω, которое мы используем для моделирования эволюции точки выборки ω во времени. Также пусть X - случайный вектор X : Ω → R n . Тогда случайный процесс { Х т : т = 0 , 1 , . , , $(\Omega, \mathcal F, Pr)$$\mathbb S$$\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$$\omega$$X$$X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$$\{ X_t: t=0,1,...\}$используется для моделирования последовательности наблюдений по формуле или X t = X ∘ S t$X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$$X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Как понять точки выборки и преобразование S в этой конструкции? (Может ли ω быть чем-то вроде последовательности ударов в определенных случаях?)$\omega \in \Omega$$\mathbb S$$\omega$

Для большей конкретности, как бы я записал эти два процесса в этой записи?

Процесс 1: где X 0 = 0 .

$$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$$ $X_0 = 0$

Процесс 2:

$$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$$

Эта конструкция, которую вы описываете, не является полностью общей. По сути это характеризует строго стационарные временные ряды. Вы видите, что это инвариант смещения. Этот оператор по сути является оператором сдвига.$S$

Для сравнения вот обычное определение, скажем, процессов с дискретным временем:

Определение Стохастический процесс - это последовательность измеримых по Борелю отображений в вероятностном пространстве ( Ω , F , µ ) . $\{ X_t \}$$( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Теперь для того, что вы описываете, у вас есть фиксированное измеримое по Борелю отображение . Это основной показатель , который развивается в соответствии с S . Отображение S индуцирует новую «меру продвижения вперед» (на языке теории меры) на Ω , просто принимая прообразы: определите меру μ S с помощью$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$$S$$S$$\Omega$$\mu_S$

$$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$$

$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$$X \circ S$$\mathbb{R}^n$$S^t$$t$

$\omega$$( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$$X$$S$

$C[0, \infty)$$\omega$$\Omega$

$\Omega$$\mathcal{F}$$\sigma$$Pr$$Pr$

Ссылка Эта характеристика / построение по сдвигу строго стационарных временных рядов упоминается в Асимптотической теории Уайта для эконометристов .

$\omega$

$\omega$

$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$

Первый пример - это разработка первого:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$

Как мы уже видели, сама операция S довольно неоднозначна и ее трудно толковать разумно. Однако следует отметить, что он определяет преобразование, сохраняющее меру, и получение изображения под ним создает набор с той же мерой. Так что эта функция динамики измерения на нашем пространстве состояний во времени.

$\mathbb{S}$$\omega$$X(\omega)$$\omega$$\mathbb{S}$$X$$\{X_t\}_{t=0}^\infty$