Производство в условиях неопределенности

В настоящее время я пытаюсь выяснить некоторые старые проблемы для предстоящего микроэкзамена. Один из них касается производства в условиях неопределенности. Это упражнение кажется мне стандартным, но я не уверен, что у меня есть правильное решение. вопрос как следует.

Фирма производит товары с функцией стоимости $ C (x) = cx ^ 2 $, где $ x $ - товар. Цена $ p_x $ дана экзогенно. Функция полезности производителя задается как $ u (y) = \ sqrt {y} $, где $ y $ - доход за счет прибыли. Определите оптимальное количество произведенных товаров $ x $ в случае i.) $ P_x $ является детерминированным и (ii.) Цена является случайной, где она составляет $ p ^ 0_x $ с вероятностью 0,5 и $ p ^ 1_x $ с вероятностью 0,5. Как изменится выход, если будет какая-то будущая цена $ p ^ f_x & gt; \ Mathbb {E} [р ^ s_x] $?

мой решение как следует. Во-первых, мы имеем, что прибыль фирмы

$$ G = p_xx - cx ^ 2 $$

и его полезность

$$ u (y) = \ sqrt {p_xx - cx ^ 2} $$

Теперь при детерминированных ценах владелец фирмы хочет максимизировать ожидаемую полезность, следовательно

$$ \ frac {d \ mathbb {E} [U]} {dx} = (p_xx - cx ^ 2) ^ {- \ frac {1} {2}} (p_x - 2xc) = 0 $$

и, следовательно, $$ x = \ frac {p_x} {2c} $$

В случае случайных цен условие оптимальности теперь

$$ \ frac {d \ mathbb {E} [u]} {dx} = \ frac {1} {2} ((p ^ 0_xx - cx ^ 2) ^ {- \ frac {1} {2}} ( p ^ 0_x - 2xc) + (p ^ 1_xx - cx ^ 2) ^ {- \ frac {1} {2}} (p ^ 1_x - 2xc) = 0 $$

право? После этого я должен решить за $ x $, и я получил результат.

Наконец, если есть какая-то будущая цена, которая выше, чем ожидаемая цена, я не совсем уверен, как поступить. Интуитивно я бы сказал, что если бы владелец производил больше товаров, но как бы я показал это аналитическим способом?

По случайным ценам производитель решает

$$ \ max_x E [U (G (x, p)] $$

Сжатие $ U (G (x, p) \ экв. U $

$$ E [U '\ cdot (p_x-2cx)] = 0 \ подразумевает x ^ * = \ frac 1 {2c} \ cdot \ frac {E [U' \ cdot p_x]} {E [U ']} \ тег {1} $$

или же

$$ x ^ * = \ frac 1 {2c} \ cdot \ left [E (p_x) + \ frac {\ text {Cov} (U ', p_x]} {E [U']} \ right] \ tag { 2} $$

Сейчас, $$ U '= \ frac 1 {2 (p_xx - cx ^ 2) ^ {1/2}} $$

и $ U '$ уменьшается в $ p_x $. Тогда (см. Например Egozcue, Cogent Matmatics (2015), 2: 991082 ), Теорема 2 (2) с. 6)

$$ \ text {Cov} (U ', p_x] & lt; 0 $$

Итак, мы заключаем, что

$$ \ подразумевает x ^ * & lt; \ frac {E (p_x)} {2c} $$

RHS является нейтральным к риску решением.

Подстановка распределения распределения для $ p_x $ в $ (1) $ дает нам неявную функцию для $ x ^ * $. Если после этого вы достаточно терпеливы, чтобы пройти через скучную алгебру, вы получите очень простое решение в замкнутой форме.

Что касается последнего вопроса, он плохо сформулирован и не имеет особого смысла, или это вопрос с подвохом, так как установка подразумевает, что производитель должен зафиксировать уровень производства до того, как цена действительно будет реализована. Если это было не В этом случае у производителя не будет причин решать ожидаемую проблему максимизации полезности, но он будет ждать, чтобы увидеть фактическую цену и соответственно оптимизировать.

Если последний вопрос намекает на проблему динамической максимизации, то это совершенно новая ситуация, и для продолжения необходимы дополнительные предположения и моделирование.