Оптимальные случайные ставки

Этот вопрос исходит от этого сайта, который я часто просматриваю.

Два игрока идут на горячее новое игровое шоу под названием «Higher Number Wins». Два идут в отдельные кабинки, и каждый нажимает кнопку, и на экране появляется случайное число от нуля до единицы. (На данный момент ни один из них не знает номер другого, но они знают, что номера выбраны из стандартного равномерного распределения.) Они могут выбрать сохранить это первое число или нажать кнопку еще раз, чтобы отменить первое число и получить второе случайное число, которое они должны хранить. Затем они выходят из своих кабин и видят окончательный номер каждого игрока на стене. Великолепный главный приз - ящик, полный золотых слитков, - вручается игроку, который сохранил большее число. Какой номер является оптимальным для игроков, чтобы отказаться от своего первого номера и выбрать другой? Другими словами, в каком диапазоне они должны оставить первое число,

Это либо очень странная проблема аукциона с симметричными игроками (я также предполагаю, что игроки нейтральны к риску), либо очень странная игра в лотерею / теорию игр.

Как бы вы подошли к этому вопросу математически и как бы вы ответили на него? Там нет никакого приза для меня, чтобы получить правильный ответ на загадку сайта, мне просто любопытно. Моя интуиция подсказывает мне, что оптимальное ограничение составляет 0,5, поскольку у вас есть 50-50 шансов быть выше или ниже номера вашего оппонента, независимо от того, повторяет он случайное число или нет, но я не уверен.

Сначала я просто покажу, что 0,5 (или $\frac{1}{2}$) пороговая точка не работает как симметричное равновесие, тогда вы можете решить для себя, хотите ли вы подумать о проблеме или прочитать полный ответ.

Обозначим точки отсечения как $c_x,c_y$, Предположим, что оба игрока используют стратегию$c = \frac{1}{2}$, Обозначим номера игроков$x$ а также $y$ соответственно $x_1$ а также $y_1$ и их потенциальное второе число $x_2$ а также $y_2$, предполагать$x_1 = \frac{2}{3}$, Сохраняя это вероятность того, что игрок$x$ выигрывает

$$P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.$$ Это также означает, что $\frac{2}{3}$является медианой этого распределения .

Теперь предположим $x_1 = \frac{1}{2}$, Сохраняя это вероятность того, что игрок$x$ выигрывает

$$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ Но если он откажется $x_1 = \frac{1}{2}$ у него есть вероятность $$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8}$$ победы. $\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$ так держать $x_1 = \frac{1}{2}$ (и его окрестности) не оптимальны, поэтому они не могут быть равновесным движением.

---

ОСТОРОЖНО, СПОЙЛЕРЫ

Если игрок $y$ имеет отключение $c_y$ и игрок $x$ рисует $x_1 = c_y$ и сохраняет вероятность того, что игрок $x$ выигрывает

$$P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2.$$ Если игрок $x$ где выбросить $x_1$ вероятность того, что он выиграет $$\begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$ Предположим, что существует симметричное равновесие, то есть $c_x = c_y = c$,
(Я не думаю, что существуют другие равновесия, но я не доказал это.)
Поскольку вероятность выигрыша постоянна в значении$x_1$, предельное значение $c$ таков, что если $x_1 = c$ тогда вероятность выигрыша равна, когда $x_1$хранится и когда его выбрасывают. Это значит, что $$\begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}$$

Предположим, человек 1 выбирает отсечение $c_1$ и человек 2 выбирает отсечение $c_2$, с $c_2\ge c_1$, Позволять$p_1(x)$ вероятность того, что окончательное число человека 1 не больше $x$, $p_1(x)$ равно $c_1x$ если $x<c_1$ а также $c_1x+x-c_1$в противном случае. определять$p_2(x)$по аналогии. Сейчас сюжет$p_2(x)$ против $p_1(x)$ на параметрическом графике для $0\le x\le1$, Результат - три отрезка линии:

• Один из $(0,0)$ в $(c_1^2,c_1c_2)$соответствует $0\le x\le c_1$;
• Один из $(c_1^2,c_1c_2)$ в $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$соответствует $c_1\le x\le c_2$;
• Один из $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ в $(1,1)$соответствует $c_2\le x\le1$,

Эти три отрезка линии делят единицу площади на две части. Площадь части под графиком - это вероятность того, что человек 1 имеет большее число. Некоторая геометрия показывает, что эта область$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$, Чтобы было устойчивое равновесие, обе его частные производные должны быть равны нулю, т.е.

$$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$$

Добавление уравнений показывает, что $(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$, что возможно только если $c_1=c_2$, Подставляя обратно в одно из уравнений,$1-c_1-c_1^2=0$Таким образом, единственное устойчивое равновесие $c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,