Конверт Парадокс

Есть два конверта. Один содержит денег, а другой содержит денег. Точное количество « » мне неизвестно, но я знаю выше. Я выбираю один конверт и открываю его. Я вижу в нем денег, очевидно, где .$x$$2x$$x$$y$$y \in \{x, 2x\}$

Теперь мне предлагают сохранить или поменять конверты.

Ожидаемое значение переключения: . Ожидаемое значение сохранения моего конверта - .$(\frac{1}{2} \cdot 2y + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}y) = \frac{5}{4}y$$y$

Кажется, я всегда должен менять конверты. Мои два вопроса:

Правильно ли это рассуждение?

Разве это не так, если мне не разрешают открыть конверт и посмотреть $y$ сумма денег, а потом мне дают возможность переключаться на неопределенное время?

Вот подход «ожидаемая полезность максимизация / теория игры» к этому вопросу (с чертой теоретико-множественной вероятности). В таких рамках ответы кажутся ясными.

ПРЕДПОСЫЛКИ

Нам говорят в абсолютной честности, что для $x$ строго положительная денежная сумма, следующие два билета были помещены в коробку: $\{A=x, B= 2x\}$ с присвоенным идентификационным номером $1$ а также $\{A=2x, B= x\}$ с присвоенным идентификационным номером $0$, Тогда ничья из Бернулли $(p=0.5)$ случайная переменная была выполнена, и на основе результата и произошедшего события суммы $x$ а также $2x$ были помещены в конверты $A$ а также $B$, Нам не говорят, в чем ценность$x$ или какая сумма пошла на какой конверт.

Первый случай: выберите конверт с возможностью переключения, не открывая его

Первый вопрос: как выбрать конверт ? Это связано с предпочтениями. Итак, предположим, что мы ожидаем максимизаторы полезности, с функцией полезности$u()$,

Мы можем смоделировать вероятностную структуру здесь, рассматривая две дихотомические случайные величины, $A$ а также $B$представляя конверты, и количество в них. Поддержка каждого$\{x, 2x\}$, Но они не независимы. Поэтому мы должны начать с совместного распространения. В форме таблицы совместное распределение и соответствующие предельные распределения

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{A} \;/ \;\;\text{B} \rightarrow & x & 2x & \text {Marg A} \\ \hline \hline x & 0 & 0.5 & 0.5\\ \hline 2x & 0.5 & 0 & 0.5 \\ \hline \text{Marg B} & 0.5 & 0.5 & 1.00 \\ \hline \end{array}$$

Это говорит нам о том, что $A$ а также $B$ имеют идентичные маргинальные распределения.

Но это означает, что не имеет значения, как мы выбираем конверты, потому что мы всегда будем получать одну и ту же ожидаемую полезность ,

$$0.5 \cdot u(x) + 0.5\cdot u(2x)$$

Здесь мы сталкиваемся с составной игрой (как выбрать конверт) над двумя одинаковыми играми (каждый конверт). Мы можем выбрать$A$ с вероятностью $1$, $0$или что-нибудь промежуточное (и дополнительно для $B$). Это не важно Мы всегда получим одинаковую ожидаемую полезность. Обратите внимание, что наше отношение к риску здесь не играет роли.

Поэтому мы выбираем конверт, скажем, $A$и мы смотрим на это. Какая сейчас наша ожидаемая полезность? Точно так же, как до выбора . Выбор конверта любым способом не влияет на вероятность того, что внутри.

Нам разрешено переключаться. Скажем, мы делаем, и теперь мы держим конверт$B$, Какая сейчас ожидаемая полезность? Точно так же, как и раньше .

Для нас это два возможных состояния мира: выбрать $A$ или выберите $B$, При любом выборе оба состояния мира подразумевают одинаковую ценность для выбранной / предполагаемой движущей силы (т. Е. Максимизируют ожидаемую полезность).

Так что здесь мы безразличны к переходу. и на самом деле мы могли бы также рандомизировать.

2-й случай: открытие конверта с возможностью переключения после

Предположим теперь, что мы выбрали $A$, открыл его, и нашел внутри суммы $y \in \{x, 2x\}$, Это меняет вещи?

Посмотрим. Интересно, что это

$$P(A = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

Хорошо, $\{x, 2x\}$ выборочное пространство, на котором случайная величина $A$определено. Обусловливание всего выборочного пространства, т. Е. Тривиальной сигма-алгебры, не влияет ни на вероятности, ни на ожидаемые значения. Как будто мы задаемся вопросом "какова ценность$A$ если мы знаем, что все возможные значения могли быть реализованы? »Эффективных знаний не было получено, поэтому мы все еще находимся в первоначальной вероятностной структуре.

Но мне также интересно, что это

$$P(B = x \mid A \in \{x, 2x\}) = ?$$

Условное утверждение, правильно рассматриваемое как сигма-алгебра, генерируемая событием $\big \{A \in \{x, 2x\}\big\}$является целым пространством выборки продукта, на котором случайный вектор $(A,B)$был определен. Из приведенной выше таблицы совместного распределения мы можем видеть, что распределение вероятностей сустава эквивалентно распределению вероятностей маргиналов («почти наверняка» квалификация из-за наличия двух событий нулевой меры). Так что и здесь мы существенно обуславливаем вероятности$B$на всем пространстве образца. Отсюда следует, что наше действие по вскрытию конверта не повлияло на вероятностную структуру$B$ также.

Введите теорию игр, наряду с принятием решений. Мы открыли конверт, и мы должны решить, будем ли мы переключаться или нет. Если мы не переключаемся, мы получаем полезность$u(y)$, Если мы переключимся, то мы находимся в следующих двух возможных состояниях мира

$$y = x, u(A) = u(x) \implies u(B) = u(2x)$$ $$y = 2x, u(A) = u(2x)\implies u(B) = u(x)$$

Мы не знаем, какое состояние на самом деле имеет место, но из приведенного выше обсуждения мы знаем, что у каждого есть вероятность $p=0.5$ существующих.

Мы можем смоделировать это как игру, в которой наш противник - «природа» и где мы знаем, что природа играет определенно рандомизированную стратегию :$p=0.5$ $y=x$ и с $p=0.5$, $y=2x$, Но мы также теперь, что, если мы не переключаемся, наша отдача наверняка. Итак, вот наша игра в нормальной форме, с нашими выплатами:

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2x) & u(x) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

Мы должны противостоять искушению заменить $u(x)$ а также $u(2x)$ за $u(y)$, $u(y)$это известная и определенная отдача. Окупаемость стратегии «Switch» на самом деле неизвестна (поскольку мы не знаем стоимости$x$). Таким образом, мы должны отменить замену . Если$y=x$ тогда $u(2x) = u(2y)$, и если $y=2x$ тогда $u(x) = u(y/2)$, Итак, снова наша игра:

$$\begin{array}{| r | r | } \hline \text{We} \;/ \;\;\text{nature} \rightarrow &y= x & y=2x \\ \hline \text{Switch} & u(2y) & u(y/2) \\ \hline \text{Don't Switch} & u(y) & u(y) \\ \hline \end{array}$$

Теперь все выплаты в матрице известны. Есть ли чисто доминирующая стратегия?

Ожидаемая отдача от стратегии «Выключатель» составляет

$$E(V_S) = 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2)$$

Ожидаемая отдача от стратегии «Не переключайся»

$$E(V_{DS}) = u(y)$$

Мы должны переключиться, если

$$E(V_S) > E(V_{DS}) \implies 0.5\cdot u(2y) + 0.5 \cdot u(y/2) > u(y)$$

И теперь отношение к риску становится критическим. Нетрудно сделать вывод, что в условиях рискованного поведения и нейтрального к риску поведения мы должны перейти.

Что касается поведения , не склонного к риску , я нахожу элегантный результат:

Для «менее вогнутых» (строго выше) функций полезности, чем логарифмических (скажем, квадратный корень), тогда мы все равно должны переключиться.

Для логарифмической полезности $u(y) = \ln y$Нам безразлично между переключением или нет.

Для «более вогнутых», чем (строго ниже) логарифмических функций полезности, мы не должны переключаться.

Я закрываю диаграммой логарифмического случая

Предполагать $y=4$, затем$y/2 =2, 2y = 8$, Линия$Γ-Δ-Ε$это строка, на которой будет лежать ожидаемая утилита от «Switch». Так как природа играет$50-50$ стратегия, это на самом деле будет в точке $\Delta$, которая является средней точкой $Γ-Δ-Ε$, В этот момент с логарифмической утилитой мы получаем точно такую ​​же утилиту из «Не переключать», т.е.$\ln(4)$ для этого числового примера.

Если вы откроете конверт E1 и увидите, что его значение равно E1 = Y , то верно, что значение другого конверта E2 находится в {E2 = Y / 2, E2 = 2Y} .

Также верно, что ожидаемое значение этой оболочки составляет (Y / 2) * Pr (E2 = Y / 2) + (2Y) * Pr (E2 = 2Y) .

Ошибка в предположении , что Рг (Е2 = Y / 2) = Pr (Е2 = 2Y) = 1/2 , независимо от того, что Y есть. Упрощенный способ показать это состоит в том, чтобы предположить, что каждый конверт содержит американские бумажные деньги различных номиналов. Если Y = $ 1 , то для E2 невозможно быть Y / 2 .

Более строгое доказательство слишком подробно , чтобы обеспечить здесь, а краткое изложение этого является первым предположить , что для любого значения Z , что Pr (Z / 2 <= E2 <Z) = Pr (Z <= E2 <2Z) . По сути, это то же предположение, что и в предыдущем абзаце, расширенном до диапазона значений. Но если это верно для любого значения Z , это означает, что Pr (Z * 2 ^ (N-1) <= E2 <Z * 2 ^ (N-1)) является постоянным для каждого значения N , от -inf до инф. Поскольку это невозможно, предположение не может быть правильным.

+++++

Это может быть немного запутанным, поэтому позвольте мне попробовать пример. Вам дают два комплекта двух конвертов. В одном наборе они содержат 10 и 20 долларов. В другом они содержат 20 и 40. Вы выбираете набор, а затем открываете один конверт в этом наборе, чтобы найти 20. Затем вам предлагается возможность переключиться на другой конверт в этом наборе. Тебе следует?

Да, должен переключиться. Ожидаемое усиление при переключении на другую огибающую составляет [(20-10) + (20-40)] / 2 = +5.

Обратите внимание, что этот пример - то есть, зная, что вы нашли 20, а не 10 или 40, соответствует условиям, которые вы описываете в своем вопросе. Так что ваше решение работает. Но сам эксперимент не подходит под это описание. Если вы нашли 10 или 40, вероятность того, что у другого конверта будет 20, равна 100%. Ожидаемая прибыль +10 и -20 соответственно. И если вы усредните три возможных усиления по вероятностям, вы получите три значения, вы получите 10/4 + 5/2 - 20/4 = 0.

Обычно проблема неразрешима, потому что вы не указали процедуру рандомизации всего эксперимента.

Но пусть Y будет значением выбранного вами конверта, а X - другим конвертом. Ответ тогда$E[X|Y=y]$- что является условным ожиданием . Однако, предполагая наиболее общее распределение Y, Y равномерно взят из всех$\mathbb{R}$, Но потом$Pr(Y=y)=0$и по парадоксу Бореля-Колмогорова ожидание неразрешимо.