Есть ли такая вещь, как слабый гомоморфизм коалгебры?

Учитывая endofunctor , мы можем определить функции наблюдения как функции , которые являются полиморфными для любого F -коалгебры, то есть о б ы определена для любого F -коалгебры ⟨ A , гр : A → F A ⟩ . о б ы : ∀ ⟨ А , с ⟩ . A → B Другой способ рассмотрения функций наблюдения - это функции конечного$F : Set \rightarrow Set$$F$$obs$$F$$\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

$$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$$ коалгебра,если она существует. Мы получаем полиморфизм автоматически, составляя функцию наблюдения с уникальным гомоморфизмом к конечной F -коалгебре. Но это работает, только еслисуществуетпоследняя F- коалгебра.$F$$F$$F$

Одной из определяющих характеристик функции наблюдения является то, что она отменяет любой гомоморфизм коалгебры, составленный справа, из-за его полиморфизма. Если является F -коалгеброй гомоморфизм, то: о б сек = о б ы ∘ ч о м В ходе исследования, в попытке определить понятие наблюдательной согласованности между одним коалгебре и другим, у меня была идея о гомоморфизм слабой коалгебры. Идея состоит в том, что мы можем «подделать» гомоморфизм коалгебры, если будем заранее знать функцию наблюдения. Таким образом, мы могли бы удовлетворить, o b s = o b $hom$$F$

$$obs = obs \circ hom$$ , но только для одного конкретного о б ы . $$obs = obs \circ hom$$ $obs$

Например, пусть , и пусть о б ы быть определена как о б ы : ∀ ⟨ , с ⟩ . A → { 0 , 1 } 2 o b s = ⟨ ( π 1 ∘ c ) , ( π 1 ∘ c ∘ π 2 ∘ c $FX = \{0,1\} \times X$$obs$

$$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$$ То есть o b s берет первые два элемента потока. $$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$$ $obs$

Тогда гомоморфизм F-коалгебры должен был бы гарантировать, что он сохраняет все элементы потока, тогда как слабый гомоморфизм для должен сохранять только первые два элемента потока.$obs$

В моем исследовании это понятие было бы полезно, чтобы показать, что одна коалгебра обсервационно совместима с другой, показывая, что каждая конечная линейная функция наблюдения имеет слабый гомоморфизм от первой коалгебры ко второй коалгебре. Другими словами, каждое конечное линейное наблюдение на первой коалгебре может быть воспроизведено на второй коалгебре.

(То, что я подразумеваю под линейной функцией наблюдения, в основном не имеет значения, но ради совместного использования ... Линейная функция наблюдения - это более или менее та, которая использует каждое состояние набора носителей только один раз. Я пытаюсь смоделировать оракула, и пользователю не разрешено возвращаться и притворяться, что он никогда не задавал вопрос.)

Мои вопросы таковы:

1. Это было исследовано? Существуют ли уже "гомоморфизмы слабой коалгебры", возможно, под другим именем?

2. Есть ли более "теория категорий" способ представить это?

Изменить : Удалены два вопроса, которые не так важны.

«Слабые морфизмы», которые вы описываете, имеют имя в слегка ограниченном окружении. Они также могут быть определены довольно широко, как я объясню.

$T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$$\mathsf{Set}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \leq \omega$, До появления коалгебры модальные логики изучали n-ступенчатую бисимуляцию для фреймов Крипке, что равняется n-ступенчатой ​​бимуляции для коалгебр для функтора powerset. Ваше требование, чтобы они были функциями, а не отношениями, делает их функциональными n-шаговыми бисимуляциями.

$\mathbb{C}$$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T$$\mathsf{Set}$$\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

$1$$\mathbb{C}$$\mathsf{Set}$$1 = \{*\}$$!_{T1} : T1 \to 1$$\mathsf{Set}$$T1$$*$$T^n 1$$T$$T^\omega 1$$\omega$$T^\alpha 1$$\alpha$

$T$$(Z,\gamma)$$\mathbb{C}$$\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$$\alpha$$\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

$Z$$\alpha$$T$$(A,\gamma)$$(B,\delta)$$\mathbb{C}$$f : A \to B$$\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

$\alpha$$f(z)$$\delta$$\alpha$$z$$\gamma$

Во всяком случае, я надеюсь, что это полезно. Вы можете найти различные ссылки, прибегая к помощи «коалгебры терминальных последовательностей» или «коалгебры конечных последовательностей».

Как правило, следует избегать сильно перегруженной терминологии, такой как слабая, регулярная, нормальная и т. Д., Если это понятие не обладает универсальностью. В частности, кажется, ваше понятие не соответствует обычному понятию слабого гомоморфизма после щелчка стрелки.

Всегда есть более описательные термины всякий раз, когда вы делаете что-то менее универсальное, такое как «ослабленный наблюдением гомоморфизм», сокращенный до «возможно, гомоморфизма».

Ваше представление о функции наблюдения уже обеспечивает теоретическое представление категории. Я бы больше беспокоился о том, чтобы уточнить, что именно это означает и почему это интересно, а не искать максимально возможную общность. В частности, вы обычно должны приводить информативный пример, а не пример, когда вводите необычные понятия в печати.