В чем разница между стрелками и экспоненциальными объектами в декартовой замкнутой категории?

21

В декартовой Закрытой категории ( КТС ), существуют так называемые показательные объекты , написанных . Когда КТС рассматривается как модель просто-типизированных -исчисления , экспоненциальный объект как характеризует функциональное пространство от типа к типу . Экспоненциальный объект вводится стрелкой с именем и удаляется с помощью стрелки, называемой (которая, к сожалению, называетсяλ B A A B c u r r y : ( A × B C ) ( A C B ) a p p l y : C B × B C e v a lВAλВAAВсUррY:(A×ВС)(AСВ)aппLY:СВ×ВСеvaLв большинстве текстов по теории категорий). Мои вопросы здесь: есть ли разница между экспоненциальным объектом и стрелкой ? B CСВВС

день
источник
3
В категории это экспоненциальный объект , но в теории типов его можно назвать экспоненциальным типом .
Андрей Бауэр
Это не вопрос исследовательского уровня. Переехать на cs-exchange?
Андреа Асперти

Ответы:

34

Один является внутренним, а другой - внешним .

Категория состоит из объектов и морфизмов. Когда мы пишем мы имеем в виду , что есть морфизм из объекта к объекту . Мы можем собрать все морфизмы из в в набор морфизмов , называемый "множеством гомов". Этот набор не является объектом , а является объектом категории наборов. f : A B f A B A BСе:AВеAВAВ ЧАСомС(A,В)С

Напротив, экспонента является объектом в . Вот как думает о своих гом-множествах. Таким образом, должен быть снабжен любой структурой, которую имеют объекты .C C B A CВAССВAС

В качестве примера рассмотрим категорию топологических пространств. Тогда является непрерывным отображением из в , а является множеством всех таких непрерывных отображений. Но , если он существует, является топологическим пространством! Вы можете доказать , что точки есть (во взаимно однозначном соответствии с) непрерывных отображений из в . На самом деле это в общем случае: морфизмы (которые являются «глобальными точками ») находятся в биективном соответствии с морфизмами , потому что X Y H o m T o p ( X , Y ) Y X Y X X Y 1 B A B A A B H o m ( 1 , B A ) H o m ( 1 × A , B ) H o m ( A , Bе:ИксYИксYЧАСомTоп(Икс,Y)YИксYИксИксY1BABAAB

ЧАСом(1,ВA)ЧАСом(1×A,В)ЧАСом(A,В),

Иногда мы получаем неаккуратно о написании , в отличие от . Фактически, часто эти два являются синонимами, с пониманием, что может означать «о, кстати, здесь я имел в виду другие обозначения, так что это означает, что является морфизмом от к ». Например, когда вы записали морфизм карри вы действительно должны были написать Поэтому мы не можем никого обвинять в том, что мы здесь запутались. Внутренний используется во внутреннем смысле, а внешний - во внешнем.Б е : Б е B карри : ( × B C ) ( С Б ) Карри : C A × B( C B ) A . ВAAВе:AВеAВ

карри:(A×ВС)(AСВ)
карри:СA×В(СВ)A,

Если мы работаем в простом наборе -calculus, то все, так сказать, внутреннее. У нас есть только базовое решение набрав « имеет тип », написанный , как . Поскольку здесь является типом, а типы соответствуют объектам, то мы явно должны интерпретировать любые экспоненты и стрелки в во внутреннем смысле. Итак, если мы понимаем как типовое суждение в -calculus, все стрелки являются внутренними, так что это так же, как Я надеюсь, что теперь понятно, почему люди используютλTВT:ВВВ

карри:(A×ВС)(AСВ)
λ
карри:((СВ)A)СA×В,
ВAи как синонимы.AВ
Андрей Бауэр
источник
Спасибо за отличный ответ, полностью рассеивающий тайну.
день
Верно! Отличное объяснение!
Uday Reddy
Итак, что является внутренним, а что внешним?
CMCDragonkai