Представьте, что у нас есть два размера наборов точек . Какова (временная) сложность тестирования, если они отличаются только ротацией? : существует матрица вращения такая, что ?
Здесь возникает проблема представления реальных значений - для простоты предположим, что существует (короткая) алгебраическая формула для каждой координаты, так что стоимость основных арифметических операций может быть принята за O (1).
Основной вопрос, если эта проблема в P?
Хотя на первый взгляд эта проблема может показаться простой - обычно достаточно проверить нормы точек и локальных отношений, таких как углы, есть неприятные примеры, в которых она, например, эквивалентна проблеме изоморфизма графов .
В частности, глядя на собственные пространства матрицы смежности сильно регулярных графов (SRG), мы можем дать ей геометрическую интерпретацию . Ниже приведен простейший пример - два 16 вершинных SRG, которые локально выглядят одинаково, но не изоморфны:
Сложность состоит в том, что все эти точки находятся в сфере и воссоздают исходные отношения: все соседи (6 здесь) находятся под фиксированным углом <90 градусов, все несоседние (9 здесь) под другим фиксированным углом> 90 градусов, как на схеме картинка выше.
Таким образом, тестирование, основанное на норме и локальных углах, возвращает нас к проблеме изоморфизма графа ... но геометрическая интерпретация позволяет работать с глобальными свойствами, такими как инварианты вращения.
Обычно мы можем определить инварианты вращения - вопрос состоит в том, чтобы построить полный набор инвариантов вращения: полностью определить набор вращения по модулю.
каждый приведенный ниже график соответствует одному инварианту вращения степени 1,2,3,4 :
Так можем ли мы проверить, отличаются ли два полинома степени 6 только вращением за полиномиальное время? Если это так, то изоморфизм графов для SRG находится в P.
Существуют ли более жесткие примеры (для тестирования, если два набора отличаются только по ротации), чем от SRG? Я сомневаюсь в этом, учитывая квазиполиномиальную верхнюю границу благодаря Бабаю (?)
Обновление : мне было указано сходство с (решенной) проблемой ортогональных прокрустов :
из разложения по сингулярности. Мы могли бы построить эти матрицы из наших точек, однако, это потребовало бы знания порядка - которого мы не знаем, а ихвозможности.
Мы могли бы попробовать, например, Монте-Карло или генетический алгоритм: переключение некоторых точек и тестирование улучшения расстояния с использованием приведенной выше формулы, однако я подозреваю, что такой эвристический алгоритм может иметь экспоненциальное число локальных минимумов (?)
Ответы:
Я думаю, что это открыто. Обратите внимание, что если вместо проверки эквивалентности при вращениях вы запрашиваете эквивалентность по общей линейной группе, то уже проверяется эквивалентность многочленов степени три GI-hard ( Agrawal-Saxena STACS '06 , свободно доступная версия автора ) и фактически находится по адресу менее сложно, чем проверка изоморфизма алгебр. Теперь, GI-hardness не является доказательством того, что ваша проблема не в , так как на самом деле весь ваш вопрос состоит в том, можем ли мы поместить GI вP P подходом, который вы предлагаете. Однако тот факт, что эквивалентность кубической формы уже кажется значительно сложнее, чем GI (например, мы до сих пор не знаем, находится ли изоморфизм алгебры в квазиполигональном времени, в отличие от GI), говорит о том, что (а) люди думали об этом подходе и (б) его все еще открыт
Хотя я не знаю наверняка, если аналогичные результаты верны для ортогональной группы, я был бы удивлен, если бы они не выполнялись (особенно если вы переходите от степени 3 к степени 6).
источник