Для булевой функции мы имеем группу автоморфизмов .
Есть ли известные границы для ? Известно ли что-нибудь для величин вида для некоторой группы ?
источник
Для булевой функции мы имеем группу автоморфизмов .
Есть ли известные границы для ? Известно ли что-нибудь для величин вида для некоторой группы ?
Да. На ваш первый вопрос вероятность быстро падает до нуля в два раза. Это можно рассчитать следующим образом. Для каждой перестановкимы можем ограничить вероятность того, что то есть для всех , Рассмотрим орбиты действующий на , У нас есть это это автоморфизм тогда и только тогда постоянно на -орбит. Если нетривиален, имеет хотя бы одну орбиту на это не одиночка, и поэтому по крайней мере на орбите это не синглтон. Предположим, что орбита имеетэлементы в нем. Вероятность того, что постоянна на этой орбите, таким образом, точно , Предположим, что действующий на имеет фиксированные точки, циклы длины 2 и т. д. (в частности ). Тогда количество баллов фиксируется это точно , Все остальные точки находятся на нетривиальных орбитах , Для верхней границы вероятности того, чтообратите внимание, что лучшая возможность, если все нефиксированные элементы прийти на орбитах размера 2. Таким образом, мы получаем, что где , Теперь мы хотим нижнюю границу, что означает, что мы хотим верхнюю границу , поскольку, самый большой может быть, когда а также т.е. а также , так а также , Теперь примените объединенное ограничение:, так что в основном в виде довольно быстро
Для любого данного Вы могли бы использовать аналогичные рассуждения, но вероятность также очень быстро упадет до нуля.