Все ли функции, вес Фурье которых сконцентрирован на множествах малого размера, вычисляются цепями AC0?

18

Все ли функции, чей вес Фурье сконцентрирован на множествах малого размера (или членах с низкой степенью), вычисляются по схемам ?AC0

Stattrav
источник
Этот вопрос звучит интересно, хотя мне не хватает некоторого фона в анализе Фурье. Буду признателен за ссылки на соответствующую литературу.
Маркус
5
@Markus: эта книга 2.0 Райана О'Доннелла является отличным справочником: contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod
Алессандро
почти обратная связь с линиалом, мансуром, ниссаном 1993 года ? результат Ааронсона, контрпример к обобщенному линиалу-ниссану кажется близким? но имхо, должен быть способ как-то обобщить результат 1993 года ... может быть, в широком смысле ...
vzn
другая аналогичная идея вместо AC ^ 0, которую сложнее опровергнуть, заключалась бы в неограниченной глубине, но ограниченных цепями затворов, ограниченных некоторой «маленькой» функцией, скажем, полиномиальной и т. д.? Кроме того, связь между монотонными цепями и коэффициентами Фурье не так хорошо известна ...?
vzn

Ответы:

19

Рассмотрим следующую функцию на : f ( x ) = x 0x n - {0,1}n Очевидно, что эта функция сложна для AC0. С другой стороны, функция почти постоянна, поэтому почти весь ее спектр Фурье находится на первом уровне.

f(x)=x0xnn1(xnnxn1).

Если вы хотите сбалансированный контрпример, рассмотрим

g(x)=x0[x1xnn1(xnnxn1)].
x0
Юваль Фильмус
источник
3
У вас есть надежные примеры, когда функция не может быть аппроксимирована в AC0?
MCH
2
O(1)O(1)O(1)
AC0
@Arul Уровень Фурье состоит из всех коэффициентов Фурье, соответствующих наборам заданного размера. Мы думаем о них как в порядке возрастания размера. Что касается того, почему эта функция трудна для AC0, это упражнение. Подсказка: паритет сложен для AC0.
Юваль Фильмус
7

Есть несколько способов понять вопрос в соответствии с точным значением «маленький размер» и «сосредоточиться».

1o(1)S1o(1)AC0 .

2) Существует теорема Бургейна о том, что если концентрация значительно выше концентрации мажоритарной функции, то эта функция приблизительно равна хунте и, таким образом, зависит от O (1) переменных.

f^2(S)AC0polylog(n) . Если суммарное влияние равно O (1), то функция близка к хунте, а именно зависит от O (1) переменных.

O(logn)AC0 .

O(polylog(n))npolylog(n)

Гил Калай
источник