Парные независимые гауссианы

Учитывая (у гауссиан со средним значением и дисперсией ), возможно ли (как?) Произвести выборку (для ) , что попарно независимые гауссианы со средним и дисперсией . $X_1,\ldots,X_k$ $0$ $1$ $m=k^2$ $Y_1, \ldots, Y_m$ $Y_i$ $0$ $1$

derandomization pr.probability Кава
источник

@Suresh,

поэтому, похоже, это не работает.

E [(X_{i} + X_{j}) (X_{i} + X_{k})] = E [X_{i}^{2}] = 1

$E[(X_i+X_j)(X_i+X_k)] = E[X_i^2] = 1$

Каве

Я не знаю почему, но я нахожу ответ МО на этот вопрос довольно смешным (не считая указателя на stats.SE): mathoverflow.net/questions/46180/…

Суреш Венкат

Я искал что-то вроде линейных комбинаций (которые, очевидно, не работают) или полиномов и т. Д. (Которые не работают сразу), но я не могу придумать разумного представления о том, что ответ Шая на mathoverflow не соответствует.

Может быть, вы должны обновить вопрос, указывая ответ на МО?

Суреш Венкат

Вам нужен совместно гауссовский дистрибутив? Если это так, то, что вам нужно, кажется невозможным, поскольку такое распределение определяется его ковариационной матрицей и, таким образом, парная независимость и полная независимость будут одинаковыми.

MCH

Ответы:

Публикация на MathOverflow рассказывает, как перейти от небольшого числа независимых Uniform [0,1] случайных величин к большему количеству попарно-независимых Uniform [0,1] случайных величин. Конечно, вы можете перемещаться между Uniform [0,1] и Gaussian, переворачивая CDF. Но это требует численного анализа, так как CDF не является замкнутой формой.

Однако есть более простой способ перехода с гауссовского на равномерный. Для двух независимых гауссианов угол равномерен в диапазоне . $X_1, X_2$ $\arctan(X_1/X_2)$ $[0,2 \pi]$

Точно так же метод Бокса-Мюллера преобразует две независимые переменные Uniform [0,1] в две независимые гауссовы случайные величины

Используя эти два преобразования, вы потребляете двух гауссианов для получения униформы или двух униформ для получения гауссиана. Таким образом, в эффективности выборки есть только коэффициент . Кроме того, инверсия нормального cdf не требуется. $O(1)$

Дэвид Харрис
источник

-2

$|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

$(i,j) \in {[k] \choose 2}$ $Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$ $\sigma(\cdot)$ $Y_{i,j}$ $(i,j) \neq (i',j')$

E [Y_{i, j} Y_{i^{'}, j^{'}}] = E [| X_{i} X_{i^{'}} | \cdot σ (X_{i} X_{i^{'}} X_{j} X_{j^{'}})]

$\mathbb{E}[Y_{i,j}Y_{i',j'}] = \mathbb{E}[|X_i X_{i'}| \cdot \sigma(X_i X_{i'} X_j X_{j'})]$

i, i^{'}, j, j^{'}

$i,i',j,j'$

PS: предыдущая версия ложно претендовала на парную независимость.

Арнаб
источник

Я не могу понять, почему значение нулевого продукта подразумевает независимость.

Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Ваша критика была правильной, конечно. Я все еще оставил этот ответ, поскольку я думаю, что это интересно.

Арнаб

Если вы хотите сохранить свой пост, пожалуйста, соблюдайте необходимые меры предосторожности, чтобы не запутать читателей. Вы можете утверждать, что в текущей версии (редакции 3) вашего сообщения не указано ничего неправильного. Правда, но вопрос задает что-то, а ваш пост отвечает на что-то другое, не заявляя об этом. Пожалуйста, поймите, что это очень запутанно для читателей.

Цуёси Ито