Позвольте мне посмотреть, смогу ли я уточнить это на высоком уровне. Предположим, что экземпляр UG является двудольным графомG = ( V∪ W, E)Биографии {πе}e ∈ E, где πе: Σ → Σ, а также | Σ | =м, Вы хотите построить новый графикЧАС так что если экземпляр UG 1 - δ удовлетворительно, то ЧАС имеет большой разрез, и если экземпляр UG даже не δнеудовлетворительно, то ЧАС имеет только очень маленькие порезы.
График ЧАС содержит, для каждой вершины в Wоблако 2m точки, каждая помечена некоторыми x∈{−1,1}Σ, Предполагается, что вы сможете интерпретировать длинную кодовую метку метокW в разрезе H, Напомним, что для кодирования некоторыхσ∈Σ с длинным кодом вы используете булеву функцию f:{−1,1}Σ→{−1,1}; в частности это функция диктатораf(x)=xσ, Давайте сделаем разрезS∪T(т. е. двунаправленное разбиение вершин) из кодирования длинного кода следующим образом. Еслиw∈W имеет метку, закодированную булевой функцией fиди к облаку вершин в H соответствует wи положить в S все вершины в облаке, которые помечены некоторыми x для которого f(x)=1, Все остальные идут вT, Вы можете сделать это задом наперед, чтобы назначить булевы функции всемw∈W основанный на разрезе H,
Для того чтобы сокращение работало, вы должны быть в состоянии сказать только, глядя на значение сокращенияS∪T близки ли логические функции, соответствующие вырезанию, к кодированию длинного кода некоторого назначения меток W что удовлетворяет многим ограничениям UG G, Таким образом, вопрос в том, какую информацию мы получаем от стоимости разрезаS∪T, Рассмотрим любые две вершиныa с этикеткой x в облаке, соответствующем w а также b с этикеткой y в облаке, соответствующем w′ (в сокращении мы только смотрим на w, w′в разных облаках). Мы сказали, что разрез может быть использован для получения булевых функцийfw а также fw′, Теперь, если есть преимущество(a,b) в H, тогда (a,b) режется тогда и только тогда, когда fw(x)≠fw′(y), Следовательно, использование только значения среза для определения того, являются ли булевы функции, которые он вызывает, «хорошими», равнозначно тому, чтобы иметь тест с заданными булевыми функциями.{fw}w∈W, только спрашивает, какая часть некоторого указанного списка пар ((w,x),(w′,y)) у нас есть fw(x)≠fw′(y),
Другими словами, всякий раз, когда Райан говорит в примечаниях "проверить, если fw(x)≠fw′(y)"что он на самом деле означает" в H, добавить ребро между вершиной в облаке w помечены x и вершина в облаке w′ помечены yТ.е. для каждого v∈Vкаждые два его соседа w,w′и каждый x,y∈{−1,1}n, включить ребро между вершиной в облаке w помечены x∘πv,w и вершина в облаке w′ помечены y∘πv,w′и назначьте вес ребра ((1−ρ)/2)d((1+ρ)/2)n−d где d это расстояние Хэмминга между x а также y, Таким образом, значение среза, деленное на общий вес ребра, точно равно вероятности успеха теста.