Теперь определим множества всех входов со сложностью Колмогорова и определим последовательность Здесь - средняя последовательность времени выполнения для , за исключением случаев, когда «размер» входных данных представляет собой их колмогоровскую сложность, а не их длину.n f K n = 1
fKA
Существуют ли алгоритмы, для которых асимптотически существенно отличается от ? Если да, то есть ли проблемы, временная сложность которых меняется при использовании этого другого способа анализа алгоритмов?е К п
Ответы:
Рассмотрим функцию контроля четности (или любую другую функцию, которая зависит от всех / большинства битов ввода). Для функции четности . Так что С другой стороны, f n = Θ ( n ) . f K n = Θ ( 1T(w)=Θ(|w|)
Обратите внимание, что . Таким образом, и . Аналогично, ; таким образом, «растет очень быстро». Более того, нетрудно видеть, что для нет вычисляемой верхней границы .max w : K ( w ) = n | ш | ≥ 2 2 Ω ( n ) f K n ≥ 2 2 Ω ( n ) / 2 n → ∞ K ( 2 … 2 2 n ) = O ( n ) f K nK(22n)=O(n)
источник
Учитывая интерес к этому вопросу, я подумал, что было бы полезно более четко указать причину, по которой мы вообще не должны удивляться ответу, и попытаться дать некоторые указания для уточнения вопроса. Это собирает и расширяет некоторые комментарии. Прошу прощения, если это "очевидно"!
Рассмотрим множество струн колмогоровской сложности : Таких строк не более , так как имеется описание длины . Но обратите внимание, что это множество неразрешимо для общего (в противном случае мы могли бы вычислить просто выполнив итерацию от до и проверив членство в ). Кроме того, функция растет неисчислимо быстро. Это вариант функции «занятый бобер»: какой самый длинный вывод машины Тьюринга с длиной описанияn
Теперь, к вопросу Эндрю, мы имеем, что , где - исходный язык. Таким образом, единственный способ избежать содержащего входы, очень большие по это если содержит только очень несжимаемые строки. (Обратите внимание, что в противном случае мы можем полностью игнорировать различие между наихудшим и средним случаями анализа, потому что мы усредняем не более строк, но размер самой большой строки растет быстрее, чем любая вычислимая функция . )IK(n)=S∩JK(n) S IK(n) n S 2n n
Я чувствую, что, вероятно, невозможно построить какой-либо нетривиальный (т. Е. Бесконечный) , содержащий только несжимаемые строки, но разрешимый. Но я не знаю Однако, надеюсь, это дает интуицию относительно того, почему мы не должны надеяться, что большинство языков будут иметь растущий медленнее, чем вычислимая функция.S fKn
Чтобы немного отступить, вопрос заключается в сравнении производительности на входах длины с производительностью на входах, которые могут быть сжаты до длины . Но у нас есть представления о сжатии, которые гораздо более податливы (и менее мощны), чем сложность Колмогорова. Простой способ - получить схему размером , которая на входе двоичного числа выдает й бит . Обратите внимание, что здесь увеличение входного размера является не более экспоненциальным (схема размером имеет не более возможных входов).n n n b b w n 2n
Таким образом, мы можем перефразировать вопрос, разрешив И определить аналогично. Причина надежды здесь заключается в том, что большинству строк требуется схема, почти такая же большая, как сама строка, и ни одна строка не имеет экспоненциально большего размера, чем требуемая схема. Возможно, в этом случае мы могли бы найти языки, где и асимптотически похожи.
Довольно тесно связанный вопрос - это сложность неявных языков, таких как IMPLICIT_SAT является NEXP-полным, и обычно неявная версия NP-завершенных задач является NEXP-полной. Решить IMPLICIT_SAT как минимум так же просто, как просто использовать схему для записи всех , а затем запустить алгоритм для SAT для . Таким образом, если для SAT, то это кажется близким к доказательству того, что IMPLICIT_SAT в среднем случае почти так же быстро разрешимо, как SAT в худшем случае. Но я не знаю, как можно было бы напрямую сравнить ваше понятие с неявными языками, потому что понятие «наименьшая схема для
Надеюсь, что это полезно / интересно!
Я не уверен в учебнике, который упоминает неявные проблемы, но вот некоторые примечания к лекции: http://people.seas.harvard.edu/~salil/cs221/spring10/lec8.pdf
источник
Кажется, простой случай, когда язык содержит только дополненные экземпляры. Когда получается из языка путем наложения каждого экземпляра размера с символов, может быть в области .S L n 2 n - n f K n 2 f nS S L n 2n−n fKn 2fn
источник