Это эквивалентное условие для алгебраических множеств?

12

Определение «алгебраической посета» в непрерывных решетках и доменов , Определение I-4,2, говорит , что для всех ,xL

  • множество должно быть направленным множеством, иA(x)=xK(L)
  • .x=(xK(L)

Здесь - множество, K ( L ) - множество компактных элементов из L , и x означает { y y x } .LK(L)Lx{yyx}

Я был немного удивлен первым условием. Легко показать, что если и k 2 находятся в A ( x ), то k 1k 2 также находится в A ( x ) . Итак, все непустые конечные подмножества в A ( x ) имеют верхние оценки. Единственный вопрос состоит в том, имеет ли пустое подмножество верхнюю границу, т. Е. Является ли A ( x ) непустым в первую очередь. Так,k1k2A(x)k1k2A(x)A(x)A(x)

  • Можно ли заменить первое условие на непустым?A(x)
  • Каков пример ситуации, когда пуст?A(x)

Добавлено примечание: как в A (x)? Во-первых, поскольку k 1x и k 2x , имеем k 1k 2x . Во-вторых, k 1 и k 2 компактны. Таким образом, любой направленный набор, который выходит за их пределы, должен их «пропустить». Предположим, что направленное множество u также выходит за пределы k 1k 2 , т.е. k 1k 2uk1k2k1xk2xk1k2xk1k2uk1k2k1k2u, Поскольку он вышел за пределы и k 2 , он, должно быть, прошел их, т. Е. Существуют элементы y 1 , y 2u , для которых k 1y 1 и k 2y 2 . Поскольку u является направленным множеством, оно должно иметь верхнюю границу для y 1 и y 2 , скажем, y . Теперь k 1k 2y d . Это показывает, чтоk1k2y1,y2uk1y1k2y2uy1y2yk1k2yd компактно. Две части вместе говорят, что k 1k 2A ( x ) .k1k2k1k2A(x)

Удай Редди
источник
Вы говорите: «если k1 и k2 в A (x), то k1⊔k2 также в A (x)» - как это доказать?
Артем Пеленицын
@ArtemPelenitsyn: я добавил свой аргумент к вопросу.
Удай Редди
1
Пожалуйста, исправьте меня, если я ошибся, но: в вашей заметке вы предполагаете, что k1⊔k2 существует в L. Но L - это всего лишь набор, а не направленный набор, поэтому вы не можете этого сделать.
Артем Пеленицын
1
Я также обнаружил тот факт, что второе условие является достаточным в ограниченной полной cpo здесь: homepages.inf.ed.ac.uk/libkin/papers/alcpo.pdf (стр. 1)
Артем Пеленицын
@ArtemPelenitsyn. Отлично, большое спасибо. Остерегайтесь скрытого предположения!
Удай Редди

Ответы:

12

Примером, где является пустым, является набор действительных чисел R с обычным порядком. У него нет компактных элементов вообще.A(x)R

A(x)A(x)=xLxA(x)=

LNι1(n)ι2(n)n

  • ι1(m)ι1(n)mn
  • ι2(m)ι2(n)mn
  • xx

  1. xK(L)

  2. x=(xK(L))

  3. K(L)=N+N

Андрей Бауэр
источник
1
Здорово. Отличный пример!
Удай Редди