Определение «алгебраической посета» в непрерывных решетках и доменов , Определение I-4,2, говорит , что для всех ,
- множество должно быть направленным множеством, и
- .
Здесь - множество, K ( L ) - множество компактных элементов из L , и ↓ x означает { y ∣ y ⊑ x } .
Я был немного удивлен первым условием. Легко показать, что если и k 2 находятся в A ( x ), то k 1 ⊔ k 2 также находится в A ( x ) . Итак, все непустые конечные подмножества в A ( x ) имеют верхние оценки. Единственный вопрос состоит в том, имеет ли пустое подмножество верхнюю границу, т. Е. Является ли A ( x ) непустым в первую очередь. Так,
- Можно ли заменить первое условие на непустым?
- Каков пример ситуации, когда пуст?
Добавлено примечание: как в A (x)? Во-первых, поскольку k 1 ⊑ x и k 2 ⊑ x , имеем k 1 ⊔ k 2 ⊑ x . Во-вторых, k 1 и k 2 компактны. Таким образом, любой направленный набор, который выходит за их пределы, должен их «пропустить». Предположим, что направленное множество u также выходит за пределы k 1 ⊔ k 2 , т.е. k 1 ⊔ k 2 ⊑ ⨆ u, Поскольку он вышел за пределы и k 2 , он, должно быть, прошел их, т. Е. Существуют элементы y 1 , y 2 ∈ u , для которых k 1 ⊑ y 1 и k 2 ⊑ y 2 . Поскольку u является направленным множеством, оно должно иметь верхнюю границу для y 1 и y 2 , скажем, y . Теперь k 1 ⊔ k 2 ⊑ y ∈ d . Это показывает, что компактно. Две части вместе говорят, что k 1 ⊔ k 2 ∈ A ( x ) .
источник
Ответы:
Примером, где является пустым, является набор действительных чисел R с обычным порядком. У него нет компактных элементов вообще.A(x) R
источник