Когда у пространств когерентности есть откаты и отжимания?

12

XX(X,X)f:XYfX×Y(x,y)f(x,y)f

  1. если то иxXxyYy
  2. если и то .xXxy=yx=x

Категория пространств когерентности является как декартовой, так и моноидально замкнутой. Я хотел бы знать, когда существуют откаты или откаты для этой категории, и когда существует какой-либо моноидальный аналог откатов или откатов (и как его определить, если это понятие имеет смысл).

Нил Кришнасвами
источник
Откуда это определение? Тот, что в Girard, Lafont & Taylor, выглядит совсем иначе.
Чарльз Стюарт
Два определения эквивалентны. Я просто воспринимаю сеть как примитив, из которого можно получить набор клик.
Нил Кришнасвами
Я считаю, что выбор определения Нила гораздо более понятен, чем оригинал.
Дэйв Кларк
3
Я поставлю очевидный вопрос: знаете ли вы, что они не всегда существуют? Другими словами, знакомы ли вы с какими-либо примерами функтора в отношениях когерентности, который не имеет ограничения / ограничения?
Охад Каммар
1
Два определения эквивалентны - верно, но вы составили это определение или получили его от кого-то другого? Отличный вопрос, кстати, я удивлен, что никто не знает, всегда ли существуют эквалайзеры.
Чарльз Стюарт

Ответы:

5

Теперь я вижу, как определить эквалайзеры для пространств когерентности, что означает, что откаты всегда существуют (так как продукты делают). Я не знаю, как это сделать, на самом деле ....

Напомним, что композиция - это обычная реляционная композиция, поэтому если и , то:f:ABg:BC

f;g={(a,c)A×C|bB.(a,b)f(b,c)g}

(В этом определении экзистенциал фактически подразумевает уникальное существование. Предположим, что у нас есть такое, что и . Поскольку мы знаем, что , это означает, что . Тогда это означает, что у нас есть и и , поэтому .)bB(a,b)f(b,c)gaAabBbbBb(b,c)g(b,c)gb=b

Теперь мы строим эквалайзеры. Предположим , что мы имеем когерентные пространства и , и морфизмов . Теперь определите эквалайзер следующим образом.ABf,g:AB(E,e:EA)

  1. Для сети возьмите Это выбирает подмножество лексем из , на которых либо и согласны (до согласования - я имел это неправильно в моей первой версии ) или оба не определены.

    E={b.(a,b)faAa.(a,b)gaAb.(a,b)gaAa.(a,b)f}
    Afg
  2. Определите отношение когерентности для . Это просто ограничение когерентности отношения на к подмножеству . Это будет рефлексивным и симметричным, поскольку есть.E={(a,a)A|aEaE}AEA

  3. Отображение эквалайзера - это просто диагональ .ee:EA={(a,a)|aE}

Так как я испортил свою первую версию доказательства, я предоставлю свойство универсальности явно. Предположим, что у нас есть любой другой объект и морфизм такой, что .Xm:XAm;f=m;g

Теперь определим как . Очевидно, что , но чтобы показать равенство, нам нужно показать обратное .h:XE{(x,a)|aE}h;immh;i

Итак, предположим . Теперь нам нужно показать, что и .(x,a)mb.(a,b)faAa.(a,b)gb.(a,b)gaAa.(a,b)f

Сначала предположим, что и . Итак, мы знаем, что и , поэтому . Следовательно, , и поэтому существует такое, что и . Поскольку , мы знаем , и поэтому существует такой, что .bB(a,b)f(x,a)m(a,b)f(x,b)m;f(x,b)m;gaA(x,a)m(a,b)gxxaaaa(a,b)g

Симметрично предположим, что и . Итак, мы знаем, что и , поэтому . Следовательно, , и поэтому существует такое, что и . Поскольку , мы знаем , и поэтому существует такой, что .bB(a,b)g(x,a)m(a,b)g(x,b)m;g(x,b)m;faA(x,a)m(a,b)fxxaaaa(a,b)f

Нил Кришнасвами
источник
Я не понимаю , как вы можете доказать универсальны. Существует только один способ разложить любое , и это путем установки как . Очевидно, что , но я не понимаю, почему верно обратное: возьмем и несколько с помощью . Тогда мы имеем , следовательно, из выбора мы имеем . Из определения состава существуют некоторые такие, что и . Мы можем сделать вывод , чтоem:XAh:XEh:={(x,a):(x,a)m,aE}h;emxmabBafbx(m;f)bmx(m;g)baxmaagba\sympa, но мы знаем только, что и , поэтому мы не можем на самом деле вывести, что и закончить. afbagba=a
Охад Каммар
Да, вы правы - поднабор, который выбирает эквалайзер, должен соответствовать согласованности, а не равенству. Я изменил определение, чтобы отразить это, и дал доказательство, что диаграмма коммутирует явно.
Нил Кришнасвами
Ах ... Но теперь не выравнивает диаграмму. Действительно, предположим, что . Тогда, по определению , мы имеем , следовательно, существует некоторое такое, что . Но у нас нет этого , поэтому мы не можем показать, что . Вы, кажется, сталкиваетесь с теми же проблемами, с которыми я столкнулся вчера вечером, поэтому мой очевидный вопрос выше. Но, возможно, вам удастся там, где я провалился! Мой следующий шаг состоял в том, чтобы взять более сложный , скажем что-то вроде , но тогда не является действительным морфизмом, поэтому требуется более тщательный выбор. ea(e;f)beafba\sympaagbaeaa(e;g)beaeaa\sympae
Охад Каммар
Теперь я помню, почему я надеялся, что ответ уже был в чьей-то диссертации. :) В любом случае, я подумаю об этом подробнее - возможно, возможен некоторый трюк, связанный с тем фактом, что инверсные изображения попарно некогерентны.
Нил Кришнасвами