Я читал « Является ли P против NP формально независимым? », Но я был озадачен.
В теории сложности широко распространено мнение, что . Мой вопрос о том, что, если это не доказуемо (скажем, в ). (Предположим, что мы только узнаем, что не зависит от но никакой дополнительной информации о том, как это доказано, нет.) Z F C P ≠ N P Z F C
Каковы будут последствия этого заявления? Более конкретно,
твердость
Предполагая , что захват эффективные алгоритмы ( Кобам-Эдмондс тезис ) и P ≠ N P , мы докажем N Р - ч р d п е s s результаты означают , что они находятся за пределами настоящего досягаемости наших эффективных алгоритмов. Если мы докажем разделение, N P - h a r d n e s s означает, что не существует алгоритма полиномиального времени. Но что делает N Р - ч г д н результат среднийесли разделение не доказуемо? Что будет с этими результатами?
эффективные алгоритмы
Означает ли недоказуемость разделения, что нам нужно изменить наше определение эффективных алгоритмов?
Ответы:
Ваш вопрос лучше сформулировать так: «Как на теорию сложности повлияет открытие доказательства того, что P = NP формально не зависит от какой-то сильной аксиоматической системы?»
Немного сложно ответить на этот вопрос абстрактно, т. Е. В отсутствие подробностей доказательства. Как упоминает Ааронсон в своей статье, для доказательства независимости P = NP потребуются радикально новые идеи, не только о теории сложности, но и о том, как доказать независимость. Как мы можем предсказать последствия радикального прорыва, о форме которого мы сейчас даже не догадываемся?
Тем не менее, есть пара наблюдений, которые мы можем сделать. В результате доказательства независимости гипотезы континуума от ZFC (и позже от ZFC + больших кардиналов) значительное число людей пришло к точке зрения, что гипотеза континуума не является ни истинной, ни ложной . Мы могли бы спросить, придут ли люди аналогичным образом к выводу, что P = NP является «ни истинным, ни ложным» после доказательства независимости (в качестве аргумента, давайте предположим, что P = NP доказано независимым от ZFC + любой большой основная аксиома). Мое предположение нет. Ааронсон в основном говорит, что он не будет. Вторая теорема Гёделя о неполноте не привела никого, о ком я знаю, к утверждению, что «ZFC непротиворечив» не является ни истиной, ни ложью.утверждение, и у большинства людей есть сильная интуиция, что арифметические утверждения - или, по крайней мере, такие простые арифметические утверждения, как "P = NP" - должны быть либо истинными, либо ложными. Доказательство независимости было бы просто истолковано как говорящее, что у нас нет никакого способа определить, какой из P = NP и P NP имеет место.≠
Можно также спросить, будут ли люди интерпретировать такое положение дел, говоря нам, что с нашими определениями P и NP что-то не так. Возможно, нам следует затем переделать основы теории сложности новыми определениями, с которыми более удобно работать? На данный момент я думаю, что мы находимся в области диких и бесплодных спекуляций, где мы пытаемся пересечь мосты, которые мы еще не достигли, и пытаемся исправить вещи, которые еще не сломаны. Кроме того, это даже не ясно , что ничего быбыть "сломанным" в этом сценарии. Теоретики множеств совершенно счастливы, принимая любые большие кардинальные аксиомы, которые они считают удобными. Точно так же теоретики сложности могут также в этом гипотетическом мире будущего быть совершенно счастливыми, принимая любые аксиомы разделения, которые, по их мнению, верны, даже если они доказуемо недоказуемы.
Короче говоря, ничего не следует логически из доказательства независимости P = NP. Лицо теории сложности может радикально измениться в свете такого фантастического прорыва, но нам просто нужно подождать и посмотреть, как выглядит прорыв.
источник
Это верный вопрос, хотя, к сожалению, он немного сформулирован. Лучший ответ, который я могу дать, это ссылка:
Аннотация: Это опрос по поводу заглавного вопроса, написанный для людей, которые (как и автор) считают логику запретной, эзотерической и далекой от своих обычных забот. Начиная с ускоренного курса по теории множеств Цермело Френкеля, он обсуждает независимость оракула; естественные доказательства; результаты независимости Разборова, Раза, ДеМилло-Липтона, Сазанова и др .; и препятствия для доказательства P против NP независимо от сильных логических теорий. Это заканчивается некоторыми философскими размышлениями о том, когда следует ожидать определенного ответа на математический вопрос.
источник
источник
Как доказано в этой статье:
http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf
Если можно показать, что P! = NP не зависит от арифметики Пеано, то NP имеет предельно-близкие к полиномиальным детерминированные верхние границы времени. В частности, в таком случае существует алгоритм DTIME (n ^ 1og * (n)), который правильно вычисляет SAT на бесконечно большом количестве огромных интервалов входных длин.
источник
Просто несколько бессвязных мыслей по этому поводу. Не стесняйтесь критиковать.
Пусть Q = [не может доказать (P = NP) и не может доказать (P / = NP)]. Предположим, что Q противоречие. Я также предполагаю, что все известные открытия о P против NP все еще жизнеспособны. В частности, все задачи NP эквивалентны в том смысле, что если вы можете решить одну из них за полиномиальное время, вы можете решить все другие за полиномиальное время. Итак, пусть W будет NP-полной проблемой; W одинаково представляет все проблемы в NP. Из-за Q невозможно получить алгоритм A для решения W за полиномиальное время. В противном случае мы имеем доказательство того, что P = NP, что противоречит Q (1) (*). Обратите внимание, что все алгоритмы вычислимы по определению. То, что A не может существовать, означает, что нет способа вычислить W за полиномиальное время. Но это противоречит Q (2). Нам осталось либо отклонить (1), либо отклонить (2). Любой случай приводит к осуждению. Таким образом, Q является противоречием,
(*) Вы можете сказать: «Ага! Может существовать, но мы просто не можем его найти». Что ж, если A существует, мы можем перечислить все программы, чтобы найти A, перечисляя меньшие и большие программы, начиная с пустой программы. A должен быть конечным, потому что это алгоритм, поэтому, если A существует, то программа перечисления, чтобы найти его, должна завершиться.
источник