Можно ли превратить трехмерную матрицу вращения (4x4) в составные части (вращение, масштаб и т. Д.)?

Чтобы быть более конкретным, я работаю над приложением для iOS, и у меня есть CATransform3Dструктура (в основном массив преобразования 4x4).

Можно ли вывести все различные «операции», которые подразумевает эта матрица? Такие вещи, как вращение, масштаб и т.д.

Вы можете разложить матрицу на базовые преобразования: перемещение, масштабирование и вращение. Учитывая эту матрицу:$\mathbf{M} = \mathbf{TRS}$

$$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$\mathbf{t} = (a_{03}, a_{13}, a_{23})$

$\mathbf{s} = (s_0, s_1, s_2)$

$$\begin{matrix} s_0 = \left \|(a_{00}, a_{10}, a_{20}) \right \|\\ s_1 = \left \|(a_{01}, a_{11}, a_{21}) \right \|\\ s_2 = \left \|(a_{02}, a_{12}, a_{22}) \right \|\\ \end{matrix}$$

Теперь у вас есть шкала, вы можете избавиться от нее, используя подматрицу , соответствующую , умножив матрицу на обратную шкалу чтобы get$3\times 3$$\mathbf{RS}$$\mathbf{S}^{-1}$$\mathbf{R}$

$$\begin{align} \mathbf{(RS)S}^{-1} &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 & 0 & 0\\ 0 & s_1 & 0\\ 0 & 0 & s_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/s_0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_1 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_2 \end{bmatrix} \end{align}$$

Таким образом ( ):$\mathbf{(RS)S}^{-1} = \mathbf{RI} = \mathbf{R}$

$$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} a_{00}/s_0 & a_{01}/s_1 & a_{02}/s_2\\ a_{10}/s_0 & a_{11}/s_1 & a_{12}/s_2\\ a_{20}/s_0 & a_{21}/s_1 & a_{22}/s_2\\ \end{bmatrix}$$

Это окончательная матрица вращения. Вы можете в дальнейшем разложить его разными способами. Это довольно долго, но вы можете найти декомпозицию матрицы вращения .

---

Этот метод дает только эквивалентные значения в виде перевода, масштабирования и поворота (исходная матрица может быть результатом других типов преобразований). Могут возникнуть проблемы с точностью с плавающей точкой с углами поворота, если вы в дальнейшем будете использовать разложенные углы, ошибки округления могут накапливаться в вычислениях. Вам не следует использовать его, если вы сами не создали матрицу.

Если вы - тот, кто построил матрицу и хотел разложения, чтобы иметь возможность редактировать и отображать перевод, масштабирование и вращение по отдельности и независимо , вероятно, самое чистое, почему хранить компоненты , и в классе преобразования индивидуально как векторы (может быть кватернионом для вращения). Только когда вам нужна матрица преобразования, создайте матрицу из этих компонентов (матрицу можно кэшировать до тех пор, пока какой-либо компонент не будет изменен).$\mathbf{t}$$\mathbf{s}$$\mathbf{r}$$\mathbf{TRS}$