Что такое аффинные преобразования?

Что такое аффинные трансформации? Они применимы только к точкам или другим фигурам? Что это значит, что они могут быть «составлены»?

Аффинное преобразование - это линейное преобразование + вектор перевода.

$$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$$

Это может быть применено к отдельным точкам или к линиям или даже кривым Безье. Для линий это сохраняет свойство, что параллельные линии остаются параллельными. Для кривых Безье это сохраняет свойство выпуклой оболочки контрольных точек.

После умножения получается 2 уравнения для получения «преобразованной» пары координат $(x', y')$ из исходной пары $(x, y)$ и списка констант $(a, b, c, d, e, f)$ ,

$$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$$

Удобно, что Линейное преобразование и Вектор Трансляции могут быть объединены в трехмерную матрицу, которая может работать над двумерными однородными координатами.

$$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$$

Который дает те же 2 уравнения выше.

Очень удобно , что сами матрицы могут быть умножены вместе, чтобы получить третью матрицу (констант), которая выполняет то же преобразование, что и оригинал 2, выполняемый последовательно. Проще говоря, матричные умножения ассоциативны.

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$$

В качестве альтернативы вы можете рассмотреть несколько основных типов преобразования и составить любое более сложное преобразование, комбинируя их (умножая их вместе).

Преобразование идентичности

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

пересчет

$$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

* Примечание: отражение может быть выполнено с параметрами масштабирования или ( 1 , - 1 ) .$(S_x, S_y) = (-1,1)$$(1,-1)$

Перевод

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$$

Перекос х на у

$$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Перекос y на x

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

вращение

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

[Примечание. Я показал форму Matrix, которая принимает вектор строки слева . Транспонирование этих матриц будет работать с вектором столбца справа.]

Матрица, составленная исключительно из масштабирования, вращения и перемещения, может быть разложена обратно на эти три компонента .