Могут ли Король и Рыцарь зайти в тупик против одинокого Короля?

Я полагаю, что Король и два Рыцаря способны заставить патовую ситуацию против одинокого Короля (хотя, очевидно, не мат) ... но как насчет Короля и одного Рыцаря против одинокого Короля?

Сначала я подумал, что форсировать тупик невозможно. Поэтому я установил случайную позицию с King + Knight vs King, где одинокий Король находился на краю доски, и попытался проанализировать ее.

Результат: белые могут привести в тупик! Хитрость - ход 3. Kd2 !!

Это не доказывает, что Король и Рыцарь всегда могут вызвать патовую ситуацию против одинокого Короля, но это по крайней мере показывает, что не исключено, что Король + Рыцарь может форсировать патовую ситуацию.

Я, очевидно, не хочу ответа «да / нет» без каких-либо доказательств, подтверждающих это. Я хотел бы получить неопровержимые доказательства или хотя бы несколько очень веских доказательств.

Одна идея состоит в том, чтобы создать настольную базу для эндшпиля, которая учитывает тупиковую ситуацию как победу, что эквивалентно тому, что белые выигрывают, когда они захватывают черного короля. Там должно быть только 64x63x62 = 249984 позиций.

Вторая идея заключается в том, чтобы получить базовый движок и изменить его код так, чтобы он учитывал тупиковую ситуацию как выигрыш, и вы, вероятно, также можете выбросить большую часть кода движка, чтобы ускорить его вычисление. Затем заставьте его рассчитать King + Knight против King в нескольких позициях, где одинокий король начинается на краю доски (но не слишком близко к углу). Но эта идея будет менее убедительной, чем основа таблицы.

Исчерпывающий компьютерный поиск показывает, что, как и ожидалось, K + N, как правило, не может привести в тупик одинокого К.

На самом деле, защищающийся король может избежать патовой ситуации, если он не находится в одной из шестиугольных треугольных окрестностей углов, показанных на следующей диаграмме.

даже на длинном краю каждого треугольника (двенадцать белых королей на диаграмме) тупиковая ситуация может быть достигнута только в нескольких специальных положениях. А именно, Kb2 для перемещения может быть остановлен силой только из этой позиции.

и его отражение относительно диагонали a1-h8; и движение Ка3 оказывается в тупике, только если он сталкивается с Кс3 и Рыцарем на одном из квадратов b2, c5, b6, которые контролируют a4 (первый из них возникает в начале патовой ситуации, показанной Петросяном ).

Из этого также следует, что каждая из этих четырех позиций является взаимной Zugzwang: защитник попадает в тупик силой, только если на ходу. Есть несколько других Zugzwangs (вплоть до симметрии доски), чтобы перечислить их все. Одним из них является уникальная проигрышная позиция максимальной длины:

Еще два можно получить, переместив королей из b1 / d1 в a1 / c1 или a2 / c2. Наконец, Ka2 против Kc2 и Nb1 (b5) являются кратчайшими взаимными цугвангами.

Как предположил Глорфиндель , некоторые из этих позиций относятся к окончанию Троицкого KNN / KP. Например, это взаимный цугцванг (в обычном смысле выигрышного BTM и розыгрыша WTM), как и каждая из трех позиций BTM в основной линии 1 ... Kg7 2 Kg5 Kg8 3 Kg6 Kf8 4 Kf6:

Вопрос о том, могут ли король и рыцарь против одного короля вызвать патовую ситуацию, довольно теоретический. На практике это всегда ничья, так как король и рыцарь не могут спарить одного короля.

Тупость не может быть навязана. Это может быть достигнуто только тогда, когда один король находится в одном из углов, поэтому один король должен помочь: