Были ли сформулированы два односторонних критерия эквивалентности (TOST) для критерия Колмогорова – Смирнова, чтобы проверить отрицательную гипотезу отрицателя о том, что два распределения отличаются , по крайней мере, по некоторому уровню, указанному исследователем?
Если не TOST, то какая-то другая форма теста на эквивалентность?
Ник Стаунер мудро указывает, что (я уже должен знать;), что существуют другие непараметрические тесты эквивалентности TOST для нулевых гипотез для стохастической эквивалентности и, с более ограничительными предположениями, для медианной эквивалентности.
Ответы:
Хорошо, вот моя первая попытка. Внимательное изучение и комментарии приветствуются!
Гипотезы с двумя выборками
Если мы можем сформулировать двусторонние односторонние тесты гипотез Колмогорова-Смирнова с нулевыми и альтернативными гипотезами по следующим направлениям:
H 0 : F Y ( t ) ≥ F X ( t ) и0: FY(t)≥FX(t)
H A : F Y ( t ) < F X ( t ) , по меньшей мере, для одного t , где:A: FY(t)<FX(t) t
тестовая статистикаD−=|mint(FY(t)−FX(t))| соответствует H 0 : F Y ( t ) ≥ F X ( t ) ;0: FY(t)≥FX(t)
тестовая статистикаD+=|maxt(FY(t)−FX(t))| соответствует H 0 : F Y ( t ) ≤ F X ( t ) ; и0: FY(t)≤FX(t)
тогда было бы разумно создать общую гипотезу интервала для теста эквивалентности по этим направлениям (предполагая, что интервал эквивалентности является симметричным на данный момент):
H - 0 : | F Y ( t ) - F X ( t ) | ≥ Δ и−0: |FY(t)−FX(t)|≥Δ
H - A : | F Y ( t ) - F X ( t ) | < Δ , по крайней мере, для одного т .−A: |FY(t)−FX(t)|<Δ t
Это выразится в конкретных два односторонних «негативистской» гипотезы нуль для теста эквивалентности (эти две гипотезы принимают ту же форму, так какD+ и D− строго неотрицательное):
H - 01 : D + ≥ Δ или−01: D+≥Δ
H - 02 : D - ≥ Δ .−02: D−≥Δ
Отклонение как H - 01 и H - 02 привело бы к выводу , что - Δ < Р У ( т ) - Р Х ( т ) < Δ . Конечно, не нужно интервал эквивалентности быть симметричными, а - Δ и Δ могут быть заменен А 2 (нижним) и А 1 (верхним) для соответствующих односторонних гипотез нуля.−01 −02 −Δ<FY(t)−FX(t)<Δ −Δ Δ Δ2 Δ1
Статистика теста (Обновлено: Delta находится вне знака абсолютного значения)D+1 D−2 nY nX −01 −02
Статистика теста и D - 2 (без явных n Y и n X ) соответствуют H - 01 и H - 02 соответственно и составляют:
, иD+1=Δ−D+=Δ−|maxt[(FY(t)−FX(t))]|
Эквивалентность / Порог актуальности[−Δ,Δ] [Δ2,Δ1] D+ D− nY nX D+ D− nY,nX 0 , а для t ≥ 0 :t<0 t≥0
интервал -ил [ Δ 2 , Δ 1 ] , при использовании асимметричной эквивалентности интервал-выражаются в единицах D + и D - , или величин разностных вероятностей. Когда n Y и n X приближаются к бесконечности, CDF D + или D - для n Y , n X приближается к 0 для t
Таким образом, мне кажется, что PDF для масштабированной по размеру выборки (или масштабированной по размеру выборки D - ) должен быть 0 для t < 0 и для t ≥ 0 :D+ D− 0 t<0 t≥0
Glen_b указывает, что это распределение Рэлея с . Таким образом, функция квантиля большой выборки для масштабированных по размеру выборокD+иD-это:σ=12 D+ D−
and a liberal choice ofΔ might be the critical value Qα+σ/2=Qα+14 , and a more strict choice the critical value Qα+σ/4=Qα+18 .
источник
An alternative to TOST in equivalence testing is based on the confidence interval approach:
LetΔ denote the prespecified equivalence margin and
Now, if a 90% confidence interval forθ is completely within [−Δ,Δ] , then we may be 95% certain that θ is enough close to 0 to speak of "equivalence".
Without knowing the underlying distributions, it seems to be hopeless to derive an approximate analytic confidence interval, so we might need to rely on (bias corrected) bootstrap confidence intervals based on resampling from pairsX and Y . (I don't want to find conditions for their validity in this particular application though...)
источник