Почему нельзя делать корреляцию Пирсона по данным о пропорциях?

Онлайн модуль, который я изучаю, утверждает, что никогда не следует использовать корреляцию Пирсона с данными о пропорциях. Почему бы нет?

Или, если это иногда хорошо или всегда хорошо, почему?

Это для случая, когда несколько переменных суммируются вместе в 1 в каждом наблюдении. Мой ответ будет на уровне интуиции; это намеренно (а также, я не эксперт по композиционным данным).

Пусть у нас есть iid (следовательно, с нулевой корреляцией) положительно-значимые переменные, которые мы затем суммируем и пересчитываем как пропорции этой суммы. Затем,

• В случае двух переменных V1 V2 , если говорят, что V1 изменяется свободно, то V2 не имеет места для свободы (поскольку V1 + V2 = постоянная) и является полностью фиксированной; чем больше V1, тем меньше V2, чем меньше V1, тем больше V2. Их соотношение равно и всегда так.$-1$
• В случае 3 переменных V1 V2 V3 , если говорят, что V1 изменяется свободно, то V2 + V3 фиксируется; это означает, что внутри (V2 + V3) каждая из двух переменных по-прежнему частично свободна: они в среднем раза фиксированы по каждой, полностью фиксированы в целом. Таким образом, если любая из трех переменных будет взята как свободная (как мы взяли V1), любая из оставшихся двух ожидается фиксированной. Так что соотношение между ними составляет . Это ожидаемая корреляция; это может варьироваться от образца к образцу.1 / 2 - $1/2$$1/2$$-0.5$
• В случае 4 переменных V1 V2 V3 V4 по одним и тем же соображениям мы имеем следующее: если мы возьмем любую из четырех как свободную, то любая из оставшихся будет фиксированной на ; Итак, ожидаемая корреляция между любой парой из четырех - одна свободна, а другая фиксирована на - равна .1 / 3 - $1/3$$1/3$$-0.333$
• По мере роста числа (первоначально идентифицированных) переменных ожидаемая парная корреляция возрастает от отрицательной к , и ее вариация от выборки к выборке становится больше.$0$

Ссылка на видео вашего комментария устанавливает контекст для композиций, которые также могут называться микстами. В этих случаях сумма доли каждого компонента складывается до 1. Например, воздух составляет 78% азота, 21% кислорода и 1% других (общее количество составляет 100%). Учитывая, что количество одного компонента полностью определяется другими, любые два компонента будут иметь идеальные мультилинейные отношения. Для примера с воздухом имеем:

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$

итак:

$x_{1} = 1 - x_{2} - x_{3}$

$x_{2} = 1 - x_{1} - x_{3}$

$x_{3} = 1 - x_{1} - x_{2}$

Так что, если вы знаете какие-либо два компонента, третий сразу известен.

Как правило, ограничение на смеси

$\sum_{i=1}^{q} x_{i} = 1$

$x_{i}$

Вы можете вычислить корреляцию между двумя компонентами, но она не является информативной , поскольку они всегда коррелируют. Вы можете прочитать больше о композиционном анализе в разделе Анализ данных, измеренных как пропорциональный состав .

Вы можете использовать корреляцию, когда данные о пропорциях поступают из разных доменов. Скажите, что ваш ответ - это доля битых пикселей на ЖК-экране. Вы можете попытаться соотнести это, скажем, с долей гелия, используемой на этапе химической обработки экрана.

Это глубокий вопрос, и у него есть некоторые тонкости, которые необходимо сформулировать. Я буду стараться изо всех сил, но даже несмотря на то, что я опубликовал эту тему (« Пропорциональность: допустимая альтернатива корреляции для относительных данных» ), я всегда готов удивляться новым взглядам на анализ данных, содержащих только относительную информацию.

Как отмечают участники этой цепочки, корреляция печально известна (в некоторых кругах) тем, что она бессмысленна при применении к композиционным данным, которая возникает, когда набор компонентов ограничивается суммой до константы (как мы видим с пропорциями, процентами, частей на миллион и т. д.).

Карл Пирсон ввел термин « ложная корреляция» с учетом этого. (Примечание: популярный Тайлер Виген в паразитной Корреляции сайт не столько о ложной корреляции , как « корреляция подразумевает причинную обусловленность » ошибочность.)

Раздел 1.7 Aitchison's (2003) «Краткое руководство по композиционному анализу данных» предоставляет классическую иллюстрацию того, почему корреляция является неуместной мерой ассоциации для композиционных данных (для удобства, цитируется в этой дополнительной информации) .

Композиционные данные возникают не только тогда, когда набор неотрицательных компонентов делается для суммирования с константой; данные называются композиционными, если они несут только относительную информацию.

Я думаю, что главная проблема с корреляцией данных, которые несут только относительную информацию, заключается в интерпретации результата. Это проблема, которую мы можем проиллюстрировать с помощью одной переменной; скажем, «пончики, произведенные на доллар ВВП» в разных странах мира. Если ценность одной нации выше, чем другой, это потому, что

• их производство пончиков выше?
• их ВВП ниже?

...кто может сказать?

Конечно, как отмечают люди в этой теме, можно рассчитать корреляции этих видов переменных как описательную переменную. Но что означают такие корреляции?

У меня такой же вопрос. Я нашел эту ссылку на biorxiv полезной:

Ловелл Д., В. Павловский-Глан, Дж. Эгозкуе, С. Маргерат, Й. Белер (2014),
«Пропорциональность: действительная альтернатива корреляции для относительных данных»

Во вспомогательной информации этого документа (Ловелл, Дэвид и др.; Doi: dx.doi.org/10.1101/008417) авторы упоминают, что корреляции между относительными обилиями в некоторых случаях не дают никакой информации. Они приводят пример относительного содержания двух экспрессий мРНК. На рисунке S2 относительные содержания двух разных мРНК совершенно отрицательно коррелированы, хотя корреляция этих двух мРНК в абсолютных значениях не имеет отрицательного отношения (зеленые точки и фиолетовые точки).

Может быть, это может помочь вам.