Распределение скалярных произведений двух случайных единичных векторов в измерениях

Если и являются двумя независимыми случайными единичными векторами в (равномерно распределенными по единичной сфере), каково распределение их скалярного произведения (точечного произведения) ?$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$$\mathbb{R}^D$$\mathbf x \cdot \mathbf y$

Я думаю, что по мере роста распределение быстро (?) Становится нормальным с нулевым средним и уменьшением дисперсии в более высоких измерениях но существует ли явная формула для \ сигма ^ 2 (D) ?$D$

$$\lim_{D\to\infty}\sigma^2(D) \to 0,$$ $\sigma^2(D)$

Обновить

Я провел несколько быстрых симуляций. Во-первых, генерируя 10000 пар случайных единичных векторов для $D=1000$ легко увидеть, что распределение их точечных произведений совершенно гауссово (на самом деле это уже довольно гауссово уже для $D=100$ ), см. Подзаговор слева. Во-вторых, для каждого $D$ диапазоне от 1 до 10000 (с увеличением шага) я генерировал 1000 пар и вычислял дисперсию. Билогарифмической график показан справа, и ясно , что формула очень хорошо аппроксимировать $1/D$ . Обратите внимание, что для $D=1$ и $D=2$ эта формула даже дает точные результаты (но я не уверен, что произойдет позже).

Поскольку ( как известно ) равномерное распределение на единичной сфере получается путем нормализации вариативного нормального распределения, а скалярное произведение нормализованных векторов является их коэффициентом корреляции, ответы на три вопросы:$S^{D-1}$$D$$t$

1. $u= (t+1)/2$ имеет распределение бета .$((D-1)/2,(D-1)/2)$

2. Дисперсия равна (как предполагается в вопросе).$t$$1/D$

3. Стандартизированное распределение приближается к нормальности со скоростью$t$$O\left(\frac{1}{D}\right).$

---

метод

Точное распределение скалярного произведения единичных векторов легко получается геометрический, так как это компонент второго вектора в направлении первого. Поскольку второй вектор не зависит от первого и равномерно распределен по единичной сфере, его компонент в первом направлении распределяется так же, как любая координата сферы. (Обратите внимание, что распределение первого вектора не имеет значения.)

Нахождение плотности

Если эта координата будет последней, плотность при , следовательно, пропорциональна площади поверхности, лежащей на высоте между и на единичной сфере. Эта пропорция происходит в поясе высотой и радиусом который по существу является коническим усечением, построенным из радиуса высоты и склона . Откуда вероятность пропорциональна$t \in [-1,1]$$t$$t+dt$$dt$$\sqrt{1-t^2},$$S^{D-2}$$\sqrt{1-t^2},$$dt$$1/\sqrt{1-t^2}$

$$\frac{\left(\sqrt{1 - t^2}\right)^{D-2}}{\sqrt{1 - t^2}}\,dt = (1 - t^2)^{(D-3)/2} dt.$$

Полагая влечет за собой . Подстановка этого в предыдущее дает элемент вероятности до нормализующей постоянной:$u=(t+1)/2 \in [0,1]$$t = 2u-1$

$$f_D(u)du \; \propto \; (1 - (2u-1)^2)^{(D-3)/2} d(2u-1) = 2^{D-2}(u-u^2)^{(D-3)/2}du.$$

Непосредственно, что имеет распределение Beta , потому что (по определению) его плотность также пропорциональна$u=(t+1)/2$$((D-1)/2, (D-1)/2)$

$$u^{(D-1)/2-1}\left(1-u\right)^{(D-1)/2-1} = (u-u^2)^{(D-3)/2} \; \propto \; f_D(u).$$

Определение предельного поведения

Информация об ограничивающем поведении легко вытекает из этого с использованием элементарных методов: может быть интегрирована для получения константы пропорциональности ; можно интегрировать (например, используя свойства бета-функций) для получения моментов, показывающих, что дисперсия равна и уменьшается до (откуда, согласно теореме Чебышева, вероятность концентрируется вблизи ); и затем определяется предельное распределение, учитывая значения плотности стандартизированного распределения, пропорционального для малых значений$f_D$$\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{D-1}{2}\right)}$$t^k f_D(t)$$1/D$$0$$t=0$$f_D(t/\sqrt{D}),$$t$ :

$$\eqalign{ \log(f_D(t/\sqrt{D})) &= C(D) + \frac{D-3}{2}\log\left(1 - \frac{t^2}{D}\right) \\ &=C(D) -\left(1/2 + \frac{3}{2D}\right)t^2 + O\left(\frac{t^4}{D}\right) \\ &\to C -\frac{1}{2}t^2 }$$

где представляют (логарифмические) константы интегрирования. Очевидно, что скорость, с которой это приближается к нормальности (для которой плотность бревен равна ), равна$C$$-\frac{1}{2}t^2$$O\left(\frac{1}{D}\right).$

На этом графике показаны плотности точечного произведения для , стандартизированные по единичной дисперсии, и их предельная плотность. Значения в увеличиваются с ростом (от синего до красного, золотого, а затем зеленого для стандартной нормальной плотности). При этом разрешении плотность для будет неотличима от нормальной плотности.$D=4, 6, 10$$0$$D$$D=1000$

Давайте найдем распределение, и тогда дисперсия будет следовать стандартным результатам. Рассмотрим векторное произведение и запишите его в форме косинуса, т.е. обратите внимание, что где - угол между и . На последнем шаге я использовал это для любых событий иТеперь рассмотрим термин . Ясно, что, поскольку выбран равномерно по отношению к поверхности сферы, не имеет значения, какой

$$P(x'y\leq t)=P(|x||y|\cos\theta\leq t)=P(\cos\theta\leq t)=\mathbb{E}P(\cos\theta\leq t\mid y),$$ $\theta$$x$$y$$A$$B$ $$\mathbb EP(A\mid B):=\mathbb{E}[\mathbb{E}[\chi_A\mid B]]=\mathbb{E}\chi_A=P(A).$$ $P(\cos\theta\leq t\mid y)$$x$$y$на самом деле, только угол между и имеет значение. Таким образом, термин внутри ожидания на самом деле постоянен как функция от и мы можем предположить, чтоТогда мы получаем, чтоно поскольку является первой координатой нормализованного гауссовского вектора в мы получаем, что является гауссовским с дисперсией , вызывая асимптотический результат этой статьи .$x$$y$$y$$y=[1,0,0,\dots ]'.$ $$P(x'y\leq t)=P\left( x_1\leq t\right).$$ $x_1$$\mathbb{R}^n,$$x'y$$1/n$

Для явного результата дисперсии используйте тот факт, что скалярное произведение равно нулю по независимости и, как показано выше, распределено как первая координата . По этим результатам поиск равносилен поиску . Теперь обратите внимание, что для каждой конструкции и поэтому мы можем написать где последнее равенство следует из того, что координаты одинаково распределены. Собрав все воедино, мы обнаружили, что$x$$\text{Var}(x'y)$$\mathbb{E}x_1^2$$x'x=1$

$$1=\mathbb{E}x'x=\mathbb{E}\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^n\mathbb{E}x_i^2=n\mathbb{E}x_1^2,$$ $x$$\text{Var}(x'y)=\mathbb{E}x_1^2=1/n$

Чтобы ответить на первую часть вашего вопроса, обозначим . Определение Произведение элементов из и обозначается здесь , как будут распределены в соответствии с совместным распределением и . так как , $Z = \langle X,Y \rangle = \sum X_i Y_i$

$$f_{Z_i}(z_i) = \int_{-\infty}^\infty f_{Z_1,\ldots,Z_D}(z_1,\ldots,z_D) \: d z_i$$ $i^{th}$$X$$Y$$Z_i$$X_i$$Y_i$ $$f_{Z_i}(z_i) = \int_{-\infty}^\infty f_{X_i,Y_i}(x,\frac{z_i}{x})\frac{1}{|x|}dx$$ $Z = \sum Z_i$ $$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty \ldots \int_{-\infty}^\infty f_{Z_1,\ldots,Z_D} (z_1,\ldots,z_d) \: \delta(z - \sum z_i)\: dz_1\ldots d z_d$$

Во второй части, я думаю, что если вы хотите сказать что-нибудь интересное об асимптотическом поведении вам нужно, по крайней мере, предположить независимость и , а затем применить CLT.$\sigma$$X$$Y$

Например, если вы хотите предположить, что с и вы можете скажем, что и .$\{Z_1,\ldots,Z_D\}$$\mathbb{E}[Z_i] = \mu$$\mathbb{V}[Z_i] = \sigma^2$$\sigma^2(D) = \frac{\sigma^2}{D}$$\lim_{D\to\infty} \sigma^2(D) = 0$