Я смотрю на лист Excel, в котором утверждается, что он вычисляет , но я не знаю, как это сделать, и мне было интересно, если я что-то упустил.$\chi^2$

Вот данные, которые он анализирует:

+------------------+----------+----------+
| Total Population | Observed | Expected |
+------------------+----------+----------+
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       25 | 32.5     |
|             2000 |       21 | 32.5     |
+------------------+----------+----------+

И вот суммы, которые он делает для каждой группы, чтобы вычислить квадрат хи:

P = (sum of all observed)/(sum of total population) = 0.01625
A = (Observed - (Population * P)) ^2
B = Total Population * P * (1-P)
ChiSq = A/B

Таким образом, для каждой группы :$\chi^2$

2.822793
2.822793
1.759359
4.136448

А общая хи - квадрат: 11.54139.

Однако каждый пример вычисления который я видел, полностью отличается от этого. Я бы сделал для каждой группы:$\chi^2$

chiSq = (Observed-Expected)^2 / Expected

И поэтому для приведенного выше примера я бы получил общее значение хи-квадрат 11.3538.

Мой вопрос - почему в листе Excel они вычисляют таким образом? Это признанный подход?$\chi^2$

ОБНОВИТЬ

Моя причина желания знать это состоит в том, что я пытаюсь воспроизвести эти результаты на языке R. Я использую функцию chisq.test, и она не выходит с тем же номером, что и лист Excel. Так что, если кто-нибудь знает, как сделать этот подход в R, это было бы очень полезно!

ОБНОВЛЕНИЕ 2

Если кому-то интересно, вот как я рассчитал это в R:

res <- matrix(c((2000-42), 42, (2000-42), 42, (2000-25), 25, (2000-21), 21), 2, 4)
chisq.test(res)

Это оказывается довольно простым.

Это явно биноминальная выборка. Есть два способа посмотреть на это.

$X_i$$\sim \text{Bin}(N_i,p_i)$$\text{N}(\mu_i=N_i\cdot p_i,\sigma_i^2=N_i\cdot p_i(1-p_i))$$Z_i=(X_i-\mu_i)/\sigma_i$$Z$$\sum_i Z_i^2\sim \chi^2$

$Z$

$(O-E)^2/E$

+------------+------+-------+
| Population | In A | Not A |
+------------+------+-------+
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   25 |  1975 |
|       2000 |   21 |  1979 |
+ -----------+------+-------+

$E$$N_i(1-p_i)$

$(O-E)^2/E$

$1/p + 1/(1-p) = 1/p(1-p)$$^{th}$

$$\begin{eqnarray} \frac{(X_i - \mu_i)^2}{\sigma_i^2} &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-N_i+N_ip_i-X_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-X_i-(N_i-N_ip_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{((N_i-X_i)-N_i(1-p_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(O^{(A)}_i- E^{(A)}_i)^2}{E^{(A)}_i} +\frac{(O^{(\bar A)}_i-E^{(\bar A)}_i)^2}{E^{(\bar A)}_i} \end{eqnarray}$$

Это означает, что вы должны получить один и тот же ответ в обоих направлениях, вплоть до ошибки округления.

Посмотрим:

             Observed             Expected                 (O-E)^2/E          
  Ni        A     not A          A      not A             A           not A      
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     25         1975      32.5     1967.5       1.730769231     0.028589581     
 2000     21         1979      32.5     1967.5       4.069230769     0.067217281     

                                            Sum     11.35384615      0.187547649  

Хи-квадрат = 11,353846 + 0,187548 = 11,54139

Что соответствует их ответу.