Два отрицательных основных эффекта, но положительный эффект взаимодействия?

У меня есть два основных эффекта, V1 и V2. Влияние V1 и V2 на переменные отклика отрицательное. Однако по какой-то причине я получаю положительный коэффициент для члена взаимодействия V1 * V2. Как я могу интерпретировать это? возможна ли такая ситуация?

Конечно. В качестве простого примера рассмотрим эксперимент, в котором вы добавляете определенные объемы горячей (V1) и холодной (V2) воды в аквариум, который начинается при правильной температуре. Переменная ответа (V3) - это количество рыб, которые выживают после дня. Интуитивно понятно, что если вы добавляете только горячую воду (V1 увеличивается), множество рыб погибает (V3 понижается). Если вы добавите только холодную воду (V2 увеличивается), много рыбы погибнет (V3 понижается). Но если вы добавите как горячую, так и холодную воду (увеличивается V1 и V2, то есть увеличивается V1 * V2), рыба будет в порядке (уровень V3 остается высоким), поэтому взаимодействие должно противодействовать двум основным эффектам и быть положительным.

Ниже я составил 18 точек данных, имитирующих описанную выше ситуацию, и поместил множественную линейную регрессию в R и включил вывод. Вы можете увидеть два отрицательных основных эффекта и положительное взаимодействие в последней строке. Вы можете указать V1 = литры горячей воды, V2 = литры холодной воды и V3 = количество живых рыб за один день.

   V1 V2  V3
1   0  0 100
2   0  1  90
3   1  0  89
4   1  1  99
5   2  0  79
6   0  2  80
7   2  1  91
8   1  2  92
9   2  2  99
10  3  3 100
11  2  3  88
12  3  2  91
13  0  3  70
14  3  0  69
15  3  3 100
16  4  0  61
17  0  4  60
18  4  2  82

A = matrix(c(0,0,100, 0,1,90, 1,0,89, 1,1,99, 2,0,79, 0,2,80, 2,1,91, 1,2,92, 
2,2,99, 3,3,100, 2,3,88, 3,2,91, 0,3,70, 3,0,69, 3,3,100, 4,0,61, 0,4,60, 
4,2, 82), byrow=T, ncol=3)

A = as.data.frame(A)

summary(lm(V3~V1+V2+V1:V2, data=A))


Coefficients:
(Intercept)           V1           V2        V1:V2  
    103.568      -10.853      -10.214        6.563  

Альтернативный способ взглянуть на ситуацию по сравнению с блестящим примером @ underminer - заметить, что при регрессии наименьших квадратов ваши подогнанные значения удовлетворяют «ограничениям корреляции»

$x_{ik}$

$V1$

$\beta_1$$V1$