Методы подбора «простой» модели ошибки измерения

Я ищу методы, которые можно использовать для оценки модели погрешности измерения "OLS".

Где ошибки независимы, нормальны с неизвестными отклонениями $\sigma_{y}^{2}$ и $\sigma_{x}^{2}$ . «Стандартный» OLS не будет работать в этом случае.

В Википедии есть несколько непривлекательных решений - эти два фактора заставляют вас предполагать, что либо «коэффициент дисперсии» либо " коэффициент надежности " , где \ sigma_ {X} ^ 2 - дисперсия истинного регрессора X_i . Я не удовлетворен этим, потому что как тот, кто не знает отклонений, знает их соотношение?$\delta=\frac{\sigma_{y}^{2}}{\sigma_{x}^{2}}$ σ 2 X X$\lambda=\frac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{X}^{2}}$$\sigma_{X}^2$$X_i$

В любом случае, есть ли другие решения, кроме этих двух, которые не требуют, чтобы я «знал» что-либо о параметрах?

Решения только для пересечения и наклона в порядке.

Есть ряд возможностей, описанных Дж. В. Гиллардом в «Историческом обзоре линейной регрессии с ошибками в обеих переменных».

Если вы не заинтересованы в деталях или причины для выбора одного метода над другим, просто идти с самым простым, что нарисовать линию через центр тяжести с угловым коэффициентом р = S у / s х , т.е. отношение наблюдаемых стандартных отклонений (делая знак наклона таким же, как знак ковариации x и y ); как вы , вероятно , можете работать, это дает перехват на у оси Оу из альфа = ··· у - & beta ; ˉ х$(\bar{x},\bar{y})$$\hat{\beta}=s_y/s_x$$x$$y$$y$$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}.$

Преимущества этого конкретного подхода

1. это дает ту же строку, сравнивая против у, как у против х ,$x$$y$$y$$x$
2. он не зависит от масштаба, поэтому вам не нужно беспокоиться о единицах,
3. он лежит между двумя обычными линиями линейной регрессии
4. он пересекает их там, где они пересекаются в центре тяжести наблюдений, и
5. это очень легко рассчитать.

Наклон - это среднее геометрическое наклона двух обычных наклонов линейной регрессии. Это также то, что вы получили бы, если бы вы стандартизировали наблюдения и y , нарисовали линию под углом 45 ° (или 135 °, если есть отрицательная корреляция), а затем отменили стандартизацию линии. Это также можно рассматривать как эквивалентность неявному предположению, что дисперсии двух наборов ошибок пропорциональны дисперсиям двух наборов наблюдений; насколько я могу судить, вы утверждаете, что не знаете, каким образом это неправильно.$x$$y$

Вот некоторый код R для иллюстрации: красная линия на графике - это регрессия OLS на X , синяя линия - регрессия OLS X на Y , а зеленая линия - это простой метод. Обратите внимание, что уклон должен быть около 5.$Y$$X$$X$$Y$

X0 <- 1600:3600
Y0 <- 5*X0 + 700
X1 <- X0 + 400*rnorm(2001)
Y1 <- Y0 + 2000*rnorm(2001)
slopeOLSXY  <- lm(Y1 ~ X1)$coefficients[2]     #OLS slope of Y on X
slopeOLSYX  <- 1/lm(X1 ~ Y1)$coefficients[2]   #Inverse of OLS slope of X on Y
slopesimple <- sd(Y1)/sd(X1) *sign(cov(X1,Y1)) #Simple slope
c(slopeOLSXY, slopeOLSYX, slopesimple)         #Show the three slopes
plot(Y1~X1)
abline(mean(Y1) - slopeOLSXY  * mean(X1), slopeOLSXY,  col="red")
abline(mean(Y1) - slopeOLSYX  * mean(X1), slopeOLSYX,  col="blue")
abline(mean(Y1) - slopesimple * mean(X1), slopesimple, col="green")