Значение, которое увеличивает стандартное отклонение

Я озадачен следующим утверждением:

«Чтобы увеличить стандартное отклонение набора чисел, вы должны добавить значение, которое больше, чем одно стандартное отклонение от среднего значения»

Что является доказательством этого? Я, конечно, знаю, как мы определяем стандартное отклонение, но эта часть мне как-то не хватает. Любые комментарии?

Для любых чисел со средним значением , дисперсия определяется как Применение к данному набору из чисел которые для удобства изложения мы берем среднее значение , имеем y 1 , y 2 , … , y N ˉ y = $N$$y_1,y_2, \ldots, y_N$ σ $\displaystyle \bar{y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$(1)пх1,х2,...хпˉх=0σ2=

$$\begin{align} \sigma^2 &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (y_i-\bar{y})^2\\ &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - 2y_i\bar{y} + \bar{y}^2\right)\\ &= \frac{1}{N-1}\left[\left(\sum_{i=1}^Ny_i^2\right) - 2N(\bar{y})^2 + N(\bar{y})^2 \right] \\ \sigma^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - (\bar{y})^2\right) \tag{1} \end{align}$$ $(1)$$n$$x_1, x_2, \ldots x_n$$\bar{x} = 0$ xn+1 $$\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-(\bar{x})^2\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2$$ Если теперь мы добавим новое наблюдение к этому набору данных, то новое среднее значение этого набора данных будет то время как новая дисперсия Soдолжен быть больше чем$x_{n+1}$σ $$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_i = \frac{n\bar{x} + x_{n+1}}{n+1} = \frac{x_{n+1}}{n+1}$$ | хн+1| σ $$\begin{align} \hat{\sigma}^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1} \left(x_i^2-\frac{x_{n+1}^2}{(n+1)^2}\right)\\ &= \frac{1}{n}\left[\left((n-1)\sigma^2 + x_{n+1}^2\right) - \frac{x_{n+1}^2}{n+1}\right]\\ &= \left.\left.\frac{1}{n}\right[(n-1)\sigma^2 + \frac{n}{n+1}x_{n+1}^2\right]\\ &> \sigma^2 ~ \text{only if}~ x_{n+1}^2 > \frac{n+1}{n}\sigma^2. \end{align}$$ $|x_{n+1}|$ xn+1ˉxσ$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ или, в более общем смысле, должен отличаться от среднего значения исходных данных, установленного более чем на , чтобы расширенный набор данных имел большую дисперсию, чем исходный набор данных. См. Также ответ Рэя Купмана, в котором указано, что новая дисперсия больше, равна или меньше, чем исходная дисперсия в соответствии с отличается от среднего более, чем точно, или меньше, чем .$x_{n+1}$$\bar{x}$ xn+1σ$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$$x_{n+1}$$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

Загадочное утверждение дает необходимое, но недостаточное условие для увеличения стандартного отклонения. Если старый размер выборки равен , старое среднее значение равно , старое стандартное отклонение равно , а к данным добавляется новая точка , то новое стандартное отклонение будет меньше, равно или больше соответствии с какменьше, равно или больше .м с х с | х - м | с $n$$m$$s$$x$$s$$|x-m|$$s\sqrt{1+1/n}$

Оставляя в стороне алгебру (которая также работает), подумайте об этом следующим образом: стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии. Дисперсия - это среднее значение квадратов расстояний от среднего. Если мы добавим значение, которое ближе к среднему значению, чем это, дисперсия будет уменьшаться. Если мы добавим значение, которое находится дальше от среднего значения, оно будет расти.

Это верно для любого среднего значения, которые неотрицательны. Если вы добавите значение, которое выше среднего, среднее значение возрастет. Если вы добавите значение, которое меньше, оно уменьшается.

Я начну с алгебры, но не буду полностью. Сначала стандартизируйте ваши данные, вычтя среднее значение и разделив на стандартное отклонение:Обратите внимание, что если находится в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения, находится в диапазоне от -1 до 1. Z будет равно 1, если точно на расстоянии 1 с от среднего. Затем посмотрите на ваше уравнение для стандартного отклонения: Что происходит с если находится между -1 и 1?xZxσ=

$$Z = \frac{x-\mu}{\sigma} .$$ $x$$Z$$x$ σZ $$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}Z_i^2}{N-1}}$$ $\sigma$$Z_N$