Почему теорема Байеса работает графически?

С математической точки зрения теорема Байеса имеет для меня совершенный смысл (т.е. вывод и доказательство), но я не знаю, есть ли хороший геометрический или графический аргумент, который можно показать для объяснения теоремы Байеса. Я попытался найти что-нибудь на Google, и на удивление не смог ничего найти.

По сути, просто нарисуйте диаграмму Венна из двух перекрывающихся кругов, которые должны представлять наборы событий. Назовите их A и B. Теперь пересечение двух - это P (A, B), которое можно считать вероятностью A и B. По основным правилам вероятности P (A, B) = P (A | B) P (В). И поскольку в A нет ничего особенного по сравнению с B, это также должен быть P (B | A) P (A). Приравнивая эти два, вы получите теорему Байеса.

Теорема Байеса действительно довольно проста. Байесовская статистика сложнее по двум причинам. Во-первых, нужно немного абстрагироваться, чтобы перейти от разговора о случайных ролях игральных костей к вероятности того, что какой-то факт верен. Это потребовало, чтобы у вас был априор, и этот априор влияет на последующую вероятность, которую вы получите в конце. И когда вам придется маргинализовать множество параметров на этом пути, будет сложнее понять, как именно это влияет.

Некоторые считают, что это кажется круговым. Но на самом деле, нет никакого способа обойти это. Данные, проанализированные с помощью модели, не приведут вас к Истине. Ничего не делает Он просто позволяет вам последовательно обновлять свои убеждения.

Другая сложность в байесовской статистике состоит в том, что вычисления становятся довольно сложными, за исключением простых задач, и именно поэтому вся математика используется для ее решения. Нам нужно использовать все возможные симметрии, чтобы упростить вычисления, или прибегнуть к симуляции Монте-Карло.

Таким образом, байесовская статистика сложна, но теорема Байеса на самом деле совсем не сложна. Не думай об этом! Это непосредственно следует из того факта, что оператор «И» в вероятностном контексте является симметричным. A и B - это то же самое, что B и A, и каждый, кажется, понимает это интуитивно.

Физический аргумент, объясняющий это, был очень четко изображен Гальтоном в двухэтапном квинкунсе в конце 1800-х годов.

См. Рисунок 5 в Стиглер, Стивен М. 2010. Дарвин, Гальтон и статистическое просвещение. Журнал Королевского статистического общества: серия A 173 (3): 469-482.

У меня есть элементарная анимация этого здесь (требуется адекватная поддержка PDF для запуска).

Я также превратил это в аллегорию об апельсине, падающем на голову Гальтона, который я постараюсь загрузить в будущем.

Или, возможно, вы предпочли бы картину отклонения ABC здесь .

Упражнение на основе этого здесь .

Эта статья 10 января 2020 года о Medium объясняется только одной картинкой! Предположим, что

• $1/1000$
• Тесты выявляют заболевание с точностью до 99%.

$\color{green}{99}$$\color{red}{1}$$\color{#e68a00}{999}$

$1$$\color{green}{99}$$\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}$$\dfrac{\color{green}{99}}{\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}} = 0.0901$