Связь между диапазоном и стандартным отклонением

В статье я нашел формулу для стандартного отклонения размера выборки $N$

$\sigma=\frac{\overline{R}}{2.534}$

где представляет собой среднее диапазон подвыборок (размер 6 ) из основного образца. Как рассчитывается число 2.534 ? Это правильный номер?$\overline{R}$$6$$2.534$

$x$$n$$F$$f$$\min(x)=x_{[1]}$$\max(x)=x_{[n]}$

$\binom{n}{1,n-2,1} = n(n-1)$$[x_{[1]},x_{[1]}+dx_{[1]})$$[x_{[n]},x_{[n]}+dx_{[n]})$$n-2$$[x_{[1]}+dx_{[1]}, x_{[n]})$$F$$(x_{[1]}, x_{[n]}]$$f(x_{[1]})dx_{[1]},$ $f(x_{[n]})dx_{[n]},$$F(x_{[n]})-F(x_{[1]}),$

$x_{[n]} - x_{[1]}$$2.53441\ \sigma$$\sigma$$n=6$$\sigma$$n$

$\binom{n}{1,n-2,1}\left(y-x\right)H_F(x,y)dxdy$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\le y\}$$F$$F$$1$

Подобное мультипликативное отношение между ожидаемым диапазоном и стандартным отклонением будет иметь место для любого семейства распределений масштаба расположения, потому что это свойство формы одного распределения. Например, вот сопоставимый график для равномерных распределений:

и экспоненциальные распределения:

$f$$F$$\frac{n-1}{(n+1)}\sqrt{12}$$\gamma + \psi(n) = \gamma + \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}$$\gamma$$\psi$

$n=6$$2.5$$t$$2.3$$n=6$$2.5$

Это приближение очень близко к истинному стандартному отклонению выборки. Я написал быстрый скрипт R, чтобы проиллюстрировать это:

x = sample(1:10000,6000,replace=TRUE)

B = 100000
R = rep(NA,B)
for(i in 1:B){
    samp = sample(x,6)
    R[i] = max(samp)-min(samp)
}

mean(R)/2.534

sd(x)

что дает:

> mean(R)/2.534
[1] 2819.238
> 
> sd(x)
[1] 2880.924

Теперь я не уверен (пока), почему это работает, но, по крайней мере, выглядит (по номинальной стоимости), что приближение является достойным.

Изменить: см. Исключительный комментарий @ Whuber (выше) о том, почему это работает